Exercícios Resolvidos de Casos especiais do critério de Routh-Hurwitz

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Enunciado

Determine o número de polos no semiplano da esquerda e no semiplano da da direita para o sistema da figura abaixo:

Passo 1

Primeiramente, devemos determinar qual é a nossa função de transferência em malha fechada para conseguir a equação característica do sistema.

Usando álgebra de diagrama de blocos teremos:

Y s X s = 1 2 s 5 + 3 s 4 + 2 s 3 + 3 s 2 + 2 s + 1

A equação característica do sistema é sempre o denominador da função de transferência em malha fechada. Portanto, a nossa equação característica será:

2 s 5 + 3 s 4 + 2 s 3 + 3 s 2 + 2 s + 1 = 0

Devemos então elaborar o diagrama de Routh do sistema, seguindo o modelo:

Passo 2

O primeiro passo, será preencher a primeira e a segunda linha com os coeficientes da equação característica:

Passo 3

Vamos agora calcular os coeficientes da terceira linha conforme as expressões abaixo:

b 1 = a 4 a 3 - a 5 a 2 a 4 = 3 2 - 2 3 3 = - 0

b 2 = a 4 a 1 - a 5 a 0 a 4 = 3 2 - 2 1 3 = 4 3

b 3 = 0

Colocando os valores no diagrama:

Temos aqui um 0 na primeira coluna, o que é um problema, vamos então utilizar o método do épsilon, substituir nosso zero, e continuar daí:

Passo 4

Continuando montando o diagrama a partir daí, teremos:

Para determinar a estabilidade precisamos ver o que acontece quando épsilon assume valores muito pequenos.

Por exemplo, se épsilon for um número positivo muito pequeno, o termo da primeira coluna da linha cinco assumirá um valor negativo, enquanto o termo da primeira coluna será positivo, tendo assim duas trocas de sinais na primeira coluna: da linha três para a linha quatro, e da linha quatro para a linha cinco.

Da mesma forma, se épsilon for um número negativo muito pequeno, teremos o termo da primeira coluna na linha três negativo, na linha quatro positivo, e na linha cinco positivo, tendo novamente duas trocas de sinais.

Portanto, o sistema é instável e apresenta duas raízes no semiplano direito, pois a primeira coluna do diagrama de Routh-Hurwitz mostra duas trocas de sinais.

Resposta

Duas raízes no semiplano direito e três no semiplano esquerdo.