Exercícios Resolvidos de Casos especiais do critério de Routh-Hurwitz

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Enunciado

Utilizando a tabela de Routh, diga quantos polos da função a seguir estão no semiplano da

direita, no semiplano da esquerda e sobre o eixo i ω :

T s = s + 8 s 5 - s 4 + 4 s 3 - 4 s 2 + 3 s - 2

Passo 1

Para determinar quantas raízes estarão no semiplano da direita, podemos utilizar o método de Routh-Hurwitz. O número de mudanças de sinal na primeira coluna do diagrama corresponderá ao número de raízes no semiplano direito.

O exercício já nos deu a função de transferência em malha fechada. Para aplicar o método de Routh-Hurwitz precisamos da equação característica, que nada mais é do que o denominador dessa função:

s 5 - s 4 + 4 s 3 - 4 s 2 + 3 s - 2 = 0

Devemos então elaborar o diagrama de Routh do sistema, seguindo o modelo:

Passo 2

O primeiro passo, será preencher a primeira e a segunda linha com os coeficientes da equação característica:

Passo 3

Vamos preencher a linha três seguindo as correlações de Routh-Hurwitz:

b 1 = - 1 4 - 1 - 4 - 1 = 0

b 2 = - 1 3 - 1 - 2 - 1 = 1

b 3 = 0

Colocando a nova linha no diagrama:

Demos de cara com um problema, que é a presença de um zero na primeira linha. Para contornar esse problema, vamos substituir esse zero po um épsilon e seguir nossa vida como se nada tivesse acontecido:

Passo 4

Seguindo a montagem do diagrama teremos:

Para determinar a estabilidade precisamos ver o que acontece quando épsilon assume valores muito pequenos.

Se o épsilon for um número muito pequeno positivo o número da primeiro coluna da linha três será positivo, da linha quatro também será positivo, e o mesmo acontecerá na linha cinco. A primeira coluna teria portanto três trocas de sinais: da primeira para a segunda linha, da segunda para a terceira e da quinta para a sexta.

Da mesma forma, se épsilon for um número negativo muito pequeno, teremos o termo da primeira coluna na linha três negativo, e nas linhas quatro e cinco positivo, que resultaria em três trocas de sinais novamente: da linha um para a dois, da três para a quatro e da cinco para a seis.

Portanto, temos três polos no semiplano direito e dois no semiplano esquerdo.

Resposta

Três raízes no semiplano direito e duas no semiplano esquerdo.