Exercícios Resolvidos de Momento de Inércia e Raio de Rotação de Regiões Planas

Ver Teoria

Enunciado

Determine os momentos de inércia I x , I y e I 0 das lâminas descritas nos itens c) e d) do exercício anterior.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o momento de inércia em relação ao eixo x , I x , em relação ao eixo y , I y , e o momento de inércia em relação à origem, I 0 . Esses momentos vão ser calculados na região do item c) (região do primeiro quadrante limitada pela parábola y = x 2 e a reta y = 1 e δ x ,   y = x y ) e na região do item d) (região limitada pela parábola y 2 = x e a reta y = x - 2 e δ x ,   y = 3 ).

O momento de inércia em relação ao eixo x é calculado por meio da equação:

I x = ∬ D y 2 δ x ,   y   d A

Pra o momento de inércia em relação ao eixo y , vamos usar a equação:

I y = ∬ D x 2 δ x ,   y   d A

E pro momento polar de inércia, que é aquele em relação à origem, temos:

I 0 = ∬ D x 2 + y 2   δ x ,   y   d A

Então, vamos montar nossas integrais e calcular as propriedades pedidas. Vamos lá!

Passo 2

No item c) nós vimos que nossa região é limitada por 0 ≤ x ≤ 1 e x 2 ≤ y ≤ 1 , com δ x ,   y = x y . Então, nosso momento em relação a x vai ficar:

I x = ∬ D y 2 δ x ,   y   d A

I x = ∫ 0 1 ∫ x 2 1 y 2 ( x y ) d y d x

Assim, integrando em relação a y , vamos ter:

I x = ∫ 0 1 ∫ x 2 1 y 3 x d y d x = ∫ 0 1 x y 4 4 x 2 1 d x

= ∫ 0 1 x 1 4 - x 8 4 d x = ∫ 0 1 x 4 - x 9 4 d x

Então, integrando em relação a x :

I x = 1 4 x 2 2 - x 10 10 0 1 = 1 4 1 2 - 1 10

I x = 1 10

Passo 3

Calculando agora o momento de inércia em relação ao eixo y para o item c), temos:

I y = ∬ D x 2 δ x ,   y   d A

I y = ∫ 0 1 ∫ x 2 1 x 2 ( x y ) d y d x

Assim, integrando em relação a y , vamos ter:

I y = ∫ 0 1 ∫ x 2 1 x 3 y d y d x = ∫ 0 1 x 3 y 2 2 x 2 1 d x

I y = ∫ 0 1 x 3 1 2 - x 4 2 d x = ∫ 0 1 1 2 x 3 - x 7 d x

Então, integrando em relação a x :

I y = 1 2 x 4 4 - x 8 8 0 1 = 1 2 1 4 - 1 8

I y = 1 1 6

Passo 4

Calculando agora o momento de inércia em relação à origem do item c), temos:

I 0 = ∬ D x 2 + y 2   δ x ,   y   d A

I 0 = ∫ 0 1 ∫ x 2 1 ( x 2 + y 2 ) ( x y ) d y d x = ∫ 0 1 ∫ x 2 1 ( x 3 y + y 3 x ) d y d x

Integrando em relação a y :

I 0 = ∫ 0 1 x 3 y 2 2 + y 4 x 4 x 2 1 d x

Aplicando os intervalos de integração em y :

I 0 = ∫ 0 1 x 3 2 + x 4 - x 7 2 + x 9 4   d x

Integrando em relação a x :

I 0 = 1 2 x 4 4 + 1 4 x 2 2 - 1 2 x 8 8 - 1 4 x 10 10 0 1 = x 4 8 + x 2 8 - x 8 16 - x 10 4 0 0 1

Aplicando os intervalos de integração:

I 0 = 1 8 + 1 8 - 1 16 - 1 40 = 13 80

Passo 5

No item d) nós vimos que nossa região é limitada por y 2 ≤ x ≤ y + 2 e - 1 ≤ y ≤ 2 , com δ x ,   y = 3 . Então, nosso momento em relação a x vai ficar:

I x = ∬ D y 2 δ x ,   y   d A

I x = ∫ - 1 2 ∫ y 2 y + 2 3 y 2 d x d y

Assim, integrando em relação a x , vamos ter:

I x = ∫ - 1 2 3 y 2 x y 2 y + 2 d y

= ∫ - 1 2 3 y 2 y + 2 - y 2 d y

= ∫ - 1 2 ( 3 y 3 + 6 y 2 - 3 y 4 )   d y

Então, integrando em relação a y :

I x = 3 y 4 4 + 6 y 3 3 - 3 y 5 5 - 1 2

E aplicando os intervalos:

I x = 117 4 - 99 5 = 189 20

Passo 6

Calculando agora o momento de inércia em relação ao eixo y para o item d), temos:

I y = ∬ D x 2 δ x ,   y   d A

I y = ∫ - 1 2 ∫ y 2 y + 2 3 x 2 d x d y

Assim, integrando em relação a x , vamos ter:

I y = ∫ - 1 2 3 x 3 3 y 2 y + 2 d y

= ∫ - 1 2 y + 2 3 - y 6 d y

Então, integrando em relação a y :

I y = y + 2 4 4 - y 7 7 - 1 2 = 255 4 - 129 7

I y = 1269 28

Passo 7

Nós também podemos calcular o momento de inércia em relação à origem através da equação:

I 0 = I x + I y

Como temos I y = 1269 28 e I x = 189 20 , nosso momento polar será:

I 0 = 1269 28 + 189 20

I 0 = 1917 35

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

c ) I x = 1 10 ,   I y = 1 16 ,   I 0 = 13 80  

d )   I x = 189 20 , I y = 1269 28 ,   I 0 = 1917 35

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize um sistema de computação algébrica para determinar a massa, o centro de massa e os momentos de inércia da lâmina que ocupa a região D e tem a densidade dada. D = x , y 0 ≤ y ≤ x e - x ,0 ≤ x ≤
Calcular o momento de inércia em relação ao eixo dos x de uma chapa delimitada por x + y = 4 ,x = 4ey = 4 . Considerar a densidade igual a uma constante igual a k
Calcular o momento de inércia de uma quadrado de lado igual a 4 cm em relação ao eixo que passa por uma diagonal. Considerar a densidade constante.
Calcular o momento de inércia de um disco circular de diâmetro 10 cm:a) Em relação ao seu próprio centrob) em relação ao seu diâmetro Considerara densidade igual uma constante K
Determine os momentos de inércia I x , I y , I 0 para a lâmina do Exercício 15 .