Exercícios Resolvidos de Momento de Inércia e Raio de Rotação de Regiões Planas

Elaboração Própria

Uma placa retangular de densidade constante δ x , y = 1 ocupa a região limitadas pelas retas x = 4 e y = 2 no primeiro quadrante. O momento de inércia I a do retângulo em relação à reta y = a é dado pela integral:

I a = 0 4 0 2 y - a 2 d y d x

Encontre o valor de a que minimiza I a .

Passo 1

Nesse exercício ele não usa o momento de inércia em relação a nenhum dos eixos, como estávamos vendo até agora, mas a uma reta paralela ao eixo x .

Mas como ele já dos dá a fórmula que vamos precisar a única coisa que temos que nos preocupar por enquanto é resolver essa integral:

I a = 0 4 0 2 y - a 2 d y d x

Vamos ver como que fica!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Já temos tudo bonitinho, então é só sair resolvendo mesmo:

I a = 0 4 0 2 y - a 2 d y d x = 0 4 d x 0 2 y - a 2 d y

4 - 0 y - a 3 3 0 2 = 4 2 - a 3 3 - ( - a ) 3 3

= 4 3 8 - 3 4 a + 3 2 a 2 - a 3 + a 3

= 4 3 8 - 12 a + 6 a 2

Essa é a expressão do momento de inércia I a em função do valor de a .

Passo 3

Mas como vamos saber o valor de a que vai nos dar o mínimo de I a ?

Pra responder isso vamos lembrar um conceito lá de Cálculo 1, de otimização.

Se derivarmos I a , vamos ter:

I a ' = 4 3 ( - 12 + 12 a )

E um ponto mínimo deve ser dar quando I a ' = 0 , então:

4 3 - 12 + 12 a = 0

12 a = 12 a = 1

Passo 4

Só para conferir, podemos fazer a segunda derivada de I a :

I a ' ' = 4 3 12 = 16

Que é positivo, então podemos confirmar que se trata de um ponto mínimo local.

Resposta

a = 1

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