Exercícios Resolvidos de Momento de Inércia e Raio de Rotação de Regiões Planas

  1. Uma lâmina homogênea tem a forma de um triângulo retângulo com lados iguais de mediada a . Ache o momento de inércia em relação a um dos lados iguais, em função de sua massa M .

Passo 1

Pow! A primeira coisa a se fazer aqui é sem dúvidas enxergar esse triângulo. Como ele é um retângulo e possui lados iguais (dois lados são iguais), seu desenho é esse daqui

Colocando esse triângulo no plano cartesiano (para facilitar as contas, vamos coloca-lo com o ângulo reto no primeiro quadrante):

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bem, se queremos o momento de inércia em relação a um dos lados iguais, podemos pegar o momento de inércia em relação ao eixo x , pois ele contém um dos lados a , saca?

Momento de inércia em relação ao eixo x é...

I x = ∬ D y 2 ρ x ,   y   d A

Esse ρ x ,   y é a densidade da região, mas como essa região é homogênea, a função de densidade é uma constante k , logo podemos eliminá-la da integral:

I x = k ∬ D y 2   d A

Bem, para resolver essa integral dupla, vem comigo no processo para descrever a região D , o triângulo.

Passo 3

Pow, podemos descrever essa região como a do T i p o   2 (apenas por uma questão de preferência haha), onde y varia entre números reais, no caso de 0 até a

0 ≤ y ≤ a

enquanto que o x varia dessa reta amarela até a vermelha

R e t a   a m a r e l a ≤ x ≤ R e t a   v e r m e l h a

A reta Vermelha é easy para nós, a final de contas ela passa justamente pelo eixo y , ou... x = 0

0 ≤ x ≤ R e t a   v e r m e l h a

Quanto à reta vermelha... Bem...! Venha comigo ;)

Passo 4

Pow! Essa reta eu quero que você note que ela passa por x = a quando y é 0 e y = a quando o inverso acontece! Cara, esse tipo de reta é muuuuuito comum, pois isso acontece quando a reta tem esse formato aqui, ohhh:

x + y = a

Repare que se zerar x , y = a e vice-versa !

Como queremos 0 ≤ x ≤ R e t a   v e r m e l h a

basta isolarmos o x em função do y , ali

x + y = a               →                 x = a - y

logo...

0 ≤ x ≤ a - y

Passo 5

Com esses dados em mãos, retornemos a integral dupla que queremos resolver...

I x = k ∬ D y 2   d A =

k ∫ 0 a ∫ 0 a - y y 2 d x d y

Resolvendo essa integral como nos manda o figurino, ou seja, primeiro a de dentro

k ∫ 0 a ∫ 0 a - y y 2 d x d y =

integral em x , y é constante e vaza

k ∫ 0 a y 2 ∫ 0 a - y d x d y =

k ∫ 0 a y 2 x 0 a - y d y =

substituindo os limites e dando aquela simplificada...

k ∫ 0 a y 2 a - y d y =

k ∫ 0 a a y 2 - y 3   d y =

integrando em y obteremos...

k a y 3 3 - y 4 4 0 a =

k a a 3 3 - a 4 4 =

I x = k a 4 12

Passo 6

Mas aí é aquilo, neh! Encontramos o momento de inércia. Beleza! Um ponto! Mas o problema nos pede que deixemos em função da massa M .

Devemos encontrar a massa fazendo a integral dupla:

M = ∬ D ρ ( x ,   y )   d A

como a função de densidade é a constate k ...

M = ∬ D k   d A = k ∬ D d A =

k Á r e a   d e   D !

Que maravilha, neh?! Pois a área desse triangulo retângulo é easy:

Á r e a   d e   D = b a s e ∙ a l t u r a 2 = a ∙ a 2

= a 2 2

Logo...

M = k a 2 2

Substituindo no momento de Inércia

I x = k a 4 12 =

k a 2 2 ∙ a 2 6 =

M a 2 6

Resposta

M a 2 6

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