Exercícios Resolvidos de Combinação Linear

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Enunciado

  1. Considere a seguinte base para R 3 :

X = { 1,1 , 1 , 0,1 , 1 , 0,0 , 1 }

  1. Escreva w = ( a , b , c ) como combinação linear dos elementos de X .

Passo 1

Fala aí, galerinhaa!

Nesse problema, o enunciado está nos dando uma base, ou seja, um conjunto de vetores

X = { 1,1 , 1 , 0,1 , 1 , 0,0 , 1 }

Em que eu consigo escrever qualquer vetor do R 3 como combinação linear desses vetores aí e ele quer que a gente escreva w = a , b , c   como combinação linear desses vetores.Maravilha, o que a gente vai fazer é escrever cada um dos vetores da base separados: u = 1,1 , 1 v = 0,1 , 1

t = ( 0,0 , 1 )

E aí a gente tem que achar α ,   β e δ de tal forma que

w = α u + β v + δ t

Então partiu fazer isso 😊

Passo 2

Vamos começar abrindo um pouco melhor a expressão de w usando os vetores da base: w = α u + β v + δ t = α 1,1 , 1 + β 0,1 , 1 + δ ( 0,0 , 1 )  

Fazendo essa soma temos: w = ( α ,   α + β ,   α + β + δ )

Mas como sabemos que w = a , b , c   temos a seguinte relação: a , b , c = ( α ,   α + β ,   α + β + δ )

Igualando cada componente temos o sistema: a = α b = α +   β c =     α + β + δ

Então vamos resolver isso aí!

Passo 3

Vamos resolver o sistema acima! Na primeira linha temos α = a o que já define nossa primeira incógnita. Usando esse resultado na segunda linha temos

β = b - a

E aí temos nossa segunda incógnita. A última linha no fornece: c = a + b - a + δ δ = c - b E aí temos todos os valores que a gente precisava. Dessa forma, o vetor w é escrito como combinação linear da base X como:

w = a 1,1 , 1 + ( b - a ) 0,1 , 1 + ( c - b ) ( 0,0 , 1 )

Dessa forma, qualquer vetor w = ( a , b , c ) pode ser escrito na base X como: w X = ( a , b - a , c - b )

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??

Resposta

w = a 1,1 , 1 + ( b - a ) 0,1 , 1 + ( c - b ) ( 0,0 , 1 )

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