Exercícios Resolvidos de Combinação Linear

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Enunciado

Com coordenadas dadas em relação a uma base fixada de V 3 , o vetor x = ( a , b , 3 ) é combinação linear dos vetores u = ( 3,1 , - 5 ) e v = ( 1,1 , - 2 ) se, e somente se,

a) - a + 3 b = 20

b) - 3 a + b = 0

c) a + b = - 2

d) a - b = 1

e) 3 a + b = - 6

Passo 1

Faaaala pessoal! Prontos pra mais uma??

Aqui é o seguinte, queremos que o vetor x = a , b , 3 possa ser escrito como combinação linear dos vetores u = ( 3,1 , - 5 ) e v = ( 1,1 , - 2 )

Se x = a . u + b . v , então o conjunto { x , u , v } é um conjunto linearmente dependente, beleza?

Então, se os 3 vetores vão formar um conjunto LD, a matriz que contém esses vetores nas linhas deve ter determinante igual a 0, sacou?

Então boraaa!

Passo 2

Para que x = ( a , b , 3 ) seja uma combinação linear de u = ( 3,1 , - 5 ) e v = ( 1,1 , - 2 ) , o conjunto formado por esses 3 vetores devem ser LD.

Colocando os 3 vetores nas linhas de uma matriz:

a b 3 3 1 - 5 1 1 - 2

Como o conjunto deve ser LD, o determinante dessa matriz deve ser 0 :

a b 3 3 1 - 5 1 1 - 2 a b 3 1 1 1 = - 2 a - 5 b + 9 - 3 + 5 a + 6 b = 0

Então:

3 a + b + 6 = 0

3 a + b = - 6

Então, para que o determinante seja 0, precisamos que 3 a + b = - 6 , a alternativa correta é a letra E 😊

Resposta

e) 3 a + b = - 6

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Seja E = e → 1 , e → 2 , e → 3 uma base . Sejam f 1 → = e → 1 - e → 2 + e → 3 , f 2 → = e → 2 + e → 3 e f 3 → = - 2 e → 3 (a)Mostre que F = ( f 1 → , f 2 , → f 3 → ) também é uma base.
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