Exercícios Resolvidos de Combinação Linear

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Enunciado

  1. Considere a seguinte base para R 3 :

X = { 1,1 , 1 , 0,1 , 1 , 0,0 , 1 }

  1. Escreva w = ( 2,4 , - 1 ) como combinação linear dos elementos de X .

Passo 1

Fala aí, galerinhaa!

Nesse problema, o enunciado está nos dando uma base, ou seja, um conjunto de vetores

X = { 1,1 , 1 , 0,1 , 1 , 0,0 , 1 }

Em que eu consigo escrever qualquer vetor do R 3 como combinação linear desses vetores aí e ele quer que a gente escreva w = 2,4 , - 1   como combinação linear desses vetores.Maravilha, o que a gente vai fazer é escrever cada um dos vetores da base separados: u = 1,1 , 1 v = 0,1 , 1

t = ( 0,0 , 1 )

E aí a gente tem que achar a ,   b e c de tal forma que

w = a u + b v + c t

Então partiu fazer isso 😊

Passo 2

Vamos começar abrindo um pouco melhor a expressão de w usando os vetores da base: w = a u + b v + c t = a 1,1 , 1 + b 0,1 , 1 + c ( 0,0 , 1 )  

Fazendo essa soma temos: w = ( a ,   a + b ,   a + b + c )

Mas como sabemos que w = 2,4 , - 1   temos a seguinte relação: 2,4 , - 1 = ( a ,   a + b ,   a + b + c )

Igualando cada componente temos o sistema: a = 2 a + b = 4 a + b + c =   - 1

Então vamos resolver isso aí!

Passo 3

Vamos resolver o sistema acima! Na primeira linha temos a = 2 o que já define nossa primeira incógnita. Usando esse resultado na linha abaixo temos: 2 + b = 4 b = 2

E aí temos nossa segunda incógnita. Usando esses resultados na última linha temos: 2 + 2 + c =   - 1 c =   - 5 E aí temos todos os valores que a gente precisava. Dessa forma, o vetor w na base X é escrito como: w X = ( a , b , c ) w X = ( 2,2 , - 5 )

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??

Resposta

w X = ( 2,2 , - 5 )

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