Exercícios Resolvidos de Combinação Linear

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra linear, 2ª edição, São Paulo, Pearson, 1987, pp. 41 - Modificada

Determinar a condição para Equation de modo que Equation seja combinação linear de   Equation e   Equation .

Passo 1

Ok, vamos começar escrevendo  Equation como Equation de   Equation e   Equation !

Ficaria assim:

Equation

Equation

Abrindo em um sisteminha,

Equation

Agora vamos tentar achar uma relação entre Equation e Equation sem os Equation e Equation (vamos tentar zerar esses caras)

Fazendo Equation , obtemos:

Equation

Equation

Equation

Vamos guardar esse resultado! Ainda precisamos colocar Equation e Equation nessa relação!

Fazendo Equation ,

Equation

Equation

Equation

Também sabemos que Equation , já que as equações Equation e Equation são iguais!

Substituindo isso na nossa relação aqui de cima, ficamos com:

Equation

Equation

Uhull!! Achamos a nossa relação!

Mas o que fazemos com ela??

Se liga no passo 2!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pensa comigo, o vetor Equation só será Equation de   Equation e   Equation se o sistema gerado por:

Equation

Possuir solução. E, esse sistema só terá solução se Equation (já que obtivemos essa relação baseada justamente no fato de o sistema ter solução).

Então, todos os vetores Equation obedecerão a equação Equation !

Para ficar mais bonitinho, podemos escrever:

Equation

Equation

E, já sabemos que Equation .

Logo, os vetores serão da forma:

Equation

Achamos nossa relação!! Showww de bolinhas!

Resposta

Os vetores serão da forma:

Equation

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