Exercícios Resolvidos de Combinação Linear

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo, Pearson, 1987, pp. 90. - 27

Sejam os vetores Equation e Equation em Equation

Equation Escreva o vetor Equation como combinação linear de Equation e Equation

Equation Para que valor de Equation o vetor Equation é combinação linear de Equation e Equation ?

Equation Determinar uma condição entre Equation e Equation para que o vetor Equation seja uma combinação linear de Equation e Equation .

Passo 1

Letra Equation

Para escrever o vetor Equation como Equation de Equation temos que achar os coeficientes de Equation que satisfazema equação:

Equation

Equation

Equation

Vamos isolar Equation na Equation :

Equation

Equation

Equation

Agora substituímos em Equation :

Equation

Equation

Equation

Equation

E por fim substituímos em Equation

Equation

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Muita calma agora! Se o sistema só tivesse as equações Equation e Equation estaria sussa e poderíamos terminar por aqui. Entretanto, jovem padawan, temos que ver se os resultados achados satisfazem a outra equação não usada, no caso a Equation :

Equation

Equation

Equation

Ufa! Deu tudo certo! Então a nossa combinação fica assim:

Equation

Poderia ter acontecido igual naquele exemplo que vimos na teoria onde chegamos em um absurdo! Então sempre confira isso ;)

Passo 3

Letra Equation

Mesma coisa que a letra Equation

Equation

Equation

Bom, percebe que temos Equation equações? Então, com as duas primeiras já da pra achar Equation . Mas e a terceira serve pra que??? Bom a gente pega os valores de Equation e substitui para achar Equation :D:

Equation

Encontrando Equation :

Equation

Equation

Passo 4

Letra Equation

Para determinar um condição precisamos montar uma Equation com o vetor Equation . Desta vez vou chamar os coeficientes de Equation de Equation reespectivamente.

Equation

Equation

Em outras palavras, o que resolvi aí em cima, foi achar os coeficientes Equation que satisfaçam a combinação linear que estipulamos. Como consequência desses resultados, conseguimos achar uma relação entre Equation necessária para existir a combinação linear.

Resposta

Equation

Equation

Equation

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