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Exercícios Resolvidos de Compensadores de atraso de fase

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Enunciado

Compense o sistema de retroalimentação unitária com função de transferência mostrada abaixo para melhorar o erro em regime permanente por um fator de 10 vezes para uma entrada degrau, de modo que não altere a resposta transitória do sistema.

G s = 1 64 ( s + 1 ) ( s + 2 ) s + 10

Considere que o sistema está operando com polos dominantes em malha fechada em:

s = - 0,694 ± 3,926 i

Passo 1

O primeiro passo seria fazer a determinação dos polos dominantes em malha fechada. Como o exercício já nos deu de mão beijada essa informação, vamos representar os zeros e polos em malha aberta e os polos dominantes em malha fechada no nosso diagrama.

Antes que você me xingue, o desenho não tá feito com a escala certa ok? O importante é só a gente ter uma ideia de como tá o lugar das raízes por enquanto.

Passo 2

O próximo passo é determinar a relação entre o polo e o zero do compensador, já que é isso que fará com que o erro seja reduzido.

Desejamos que o erro seja reduzido dez vezes. Vamos primeiro então calcular o erro sem a presença do compensador

e ∞ = 1 1 + lim s → 0 ⁡ G s

e ∞ = 1 1 + lim s → 0 ⁡ 1 64 s + 1 s + 2 s + 10

e ∞ = 1 1 + 1 64 20 = 1 1,05 = 0 , 109

O nosso objetivo adicionando o compensador é que o erro diminua 10 vezes, ou seja, seja de 0,0109 . Para isso:

e ∞ = 1 1 + lim s → 0 ⁡ C ( s ) G s = 0,0 109

1 1 + lim s → 0 ⁡ s + a s + b 1 64 s + 1 s + 2 s + 10 = 0,0 10 9

1 1 + 164 a 20 b = 0,0109

1 + 164 a 20 b = 1 0,0109

1 + 164 a 20 b = 91,743

164 a 20 b = 90,743

a b ≅ 11,1

Passo 3

Agora que já sabemos a relação entre a posição do polo e do zero, já podemos posicioná-los.

Sendo assim, devemos arbitrar um valor para o polo e posicionar o zero seguindo a relação que encontramos.

Lembrando que é preciso que ambos os valores sejam bem baixos. Sendo assim, vamos arbitrar:

b = - 0,01

a = - 0,1 11

Passo 4

Por enquanto a função de transferência do compensador está assim:

C s = K C s + 0 , 111 s + 0,01

Só resta então calcular o valor do ganho K C .

Vamos colocar nossos polos e zeros no diagrama de lugar das raízes para conseguir calcuar o ganho do compensador.

Para calcular o ganho do compensador, devemos usar o critério do módulo, que diz que o produto de todos os módulos é igual a 1 . Sendo que os módulos podem ser calculados como a distância de cada zero/polo ao polo dominante que está repesentado pelo ponto preto.

O polo dominantes, como nós vimos, fica em s = - 0,694 ± 3,926 i

Sendo assim, precisamos calcular essas distâncias:

Usando o critério do módulo:

K C K h 2 h 1 h 3 h 4 h 5 = 1

O módulo dos zeros fica no numerador e dos polos no denominador. Precisamos calcular esses módulos agora:

h 1 = 3,92 2 + 0,684 2 = 3,98

h 2 = 3,92 2 + 0,583 2 = 3,96

h 3 = 3,92 2 + 0,3 06 2 = 3,93

h 4 = 3,92 2 + 1,306 2 = 4,13

h 5 = 3,92 2 + 9,306 2 = 10,10

Portanto:

K C * 164 * 3,96 3,98 * 3,93 * 4,13 * 10,10 = 1

K C = 1,004

Resposta

C s = 1,004 s + 0,1 11 s + 0,01