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Exercícios Resolvidos de Compensadores de atraso de fase

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Enunciado

Considere o sistema cuja função de transferência é:

G s = 1 s ( s + 1 ) s + 2

Projete um compensador de atraso de modo que o fator de amortecimento seja ζ = 0,5 e que o tempo de acomodação para uma porcentagem de 2 % seja T = 12 s .

Deseja-se que o erro em regime permanente para uma entrada rampa seja de e ∞ = 0,2 s

Passo 1

Precisamos determinar a , b e c da função de transferência do compensador que satisfaça os critérios do enunciado.

C s = K s + a s + b

O primeiro passo é definir o polo dominante, e para isso precisamos de ζ e ω n . O valor de ζ já foi dado no enuciado e ω n podemos calcular como abaixo:

ζ = 0,5

T s 2 % = 4 ζ ω n

ω n = 4 T s ζ = 4 12 * 0,5 = 0,67   r a d / s

O polo dominante pode ser encontrado pela fórmula:

s = - ζ ω n ± i ω n 1 - ζ 2

Portanto:

s = - 0,33 ± 0,58 i

Passo 2

O próximo passo é determinar a relação entre o polo e o zero do compensador, já que é isso que fará com que o erro seja reduzido.

Desejamos um erro de 0,2 s para uma entrada rampa. A equação para calcular o erro para uma entrada rampa é dada abaixo:

e ∞ = 1 lim s → 0 ⁡ s C ( s ) G s

A dedução e explicação para essa expressão você encontra na aula de erros em regime permanente. Se você não t[a lembrado, dá uma revisadinha lá.

Substituindo nossas funções de transferência e assumindo que o ganho do compensador é 1 :

e ∞ = 1 lim s → 0 ⁡ s 1 s s + 1 s + 2 s + a s + b = 0,2

lim s → 0 ⁡ s 1 s s + 1 s + 2 s + a s + b = 5

1 2 a b = 5

a b = 10

Passo 3

Verificamos então que o zero deve ser dez vezes maior que o polo.

Sendo assim, devemos arbitrar um valor para o polo e botar o zero dez vezes maior. Lembrando que é preciso que ambos os valores sejam bem baixos. Sendo assim, vamos arbitrar:

b = - 0,01

a = - 0,1

Passo 4

Por enquanto a função de transferência do compensador está assim:

C s = K s + 0,1 s + 0,01

Só resta então calcular o valor do ganho K .

Vamos colocar nossos polos e zeros no diagrama de lugar das raízes para conseguir calcuar o ganho do compensador.

Para calcular o ganho do compensador, devemos usar o critério do módulo, que diz que o produto de todos os módulos é igual a 1 . Sendo que os módulos podem ser calculados como a distância de cada zero/polo ao polo dominante que está repesentado pelo ponto preto.

O polo dominantes, como nós vimos, fica em s = - 0,33 ± 0,58 i

Sendo assim, precisamos calcular essas distâncias:

Usando o critério do módulo:

K h 3 h 1 h 2 h 4 h 5 = 1

O módulo dos zeros fica no numerador e dos polos no denominador. Precisamos calcular esses módulos agora:

h 1 = 0,58 2 + 0,33 2 = 0,67

h 2 = 0,58 2 + 0,32 2 = 0,66

h 3 = 0,58 2 + 0,23 2 = 0,62

h 4 = 0,58 2 + 0,67 2 = 0,89

h 5 = 0,58 2 + 1,67 2 = 1,76

Portanto:

K * 0,62 0,67 * 0,66 * 0,89 * 1,76 = 1

K = 1,11

Resposta

C s = 1,11 s + 0,1 s + 0,01