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Exercícios Resolvidos de Compensadores de atraso de fase

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Enunciado

Considere um sistema de retroalimentação unitária com função de transferência mostrada abaixo:

G s = 88 ( s + 3 ) ( s + 5 ) ( s + 7 )

Projete um compensador que resultará em k p = 20 sem alterar significativamente a resposta transitória (overshoot de 10 % e tempo se sedimentação para uma faixa de 2 % de 1,5   s e g )

Passo 1

Devemos agora projetar o compensador de atraso de fase que produzirá uma constante, k p igual a 20 .

O primeiro passo será encontrar o polo dominante em malha fechada. O polo pode ser encontrado através da expressão:

s = - ζ ω n ± i ω n 1 - ζ 2

O fator de amortecimento ζ pode ser encontrado diretamente da fórmula do overshoot:

O S = e - ζ π 1 - ζ 2

Para um overshoot de 10 % :

ζ = 0,59

Para encontrar ω n devemos usar a fórmula do tempo de sedimentação para uma faixa de 2 % :

T s = 4 ζ ω n

ω n = 4 ζ T s = 4,52

Portanto, o polo dominante será aproximadamente:

s = - 2,7 ± 3,6 i

Passo 2

Vamos representar no nosso diagrama agora como estamos até aqui.

Os “x” vermelhos são os polos em malha aberta da função de transferência, e os pontos pretos são os polos dominantes da resposta.

Passo 3

Precisamos agora implementar nosso compensador. Para isso precisamos encontrar a relação entre as posições do zero e do polo.

Precisamos que o k p seja iguala a 20 . Com a implementação do compensador, o k p poderá ser calculado como:

k p = lim s → 0 ⁡ C s G s

k p = lim s → 0 ⁡ s + a s + b 8 8 ( s + 3 ) ( s + 5 ) ( s + 7 ) = 20

Obs: Para fazer esse cálculo, consideramos o ganho do compensador, K c , igual a 1 .

a b 88 105 = 20

a b = 23,8

Passo 4

Agora que já sabemos a relação entre a posição do polo e do zero, já podemos posicioná-los.

Sendo assim, devemos arbitrar um valor para o polo e posicionar o zero seguindo a relação que encontramos.

Lembre-se que precisamos arbitrar um valor bem pequeno para o polo de modo que o zero e o polo não fiquem muito longe entre si. Uma possibilidade seria:

b = - 0 , 238

a = - 0 , 01

Passo 5

Por enquanto a função de transferência do compensador está assim:

C s = K C s + 0 , 238 s + 0 , 0 1

Só resta então calcular o valor do ganho K C .

Vamos colocar nossos polos e zeros no diagrama de lugar das raízes para conseguir calcuar o ganho do compensador.

Esse diagrama não está representado com a escala certinha, ok? É só um esboço para a gente ter mais ou menos uma ideia de onde estão as coisas.

Para calcular o ganho do compensador, devemos usar o critério do módulo, que diz que o produto de todos os módulos é igual a 1 . Sendo que os módulos podem ser calculados como a distância de cada zero/polo ao polo dominante que está repesentado pelo ponto preto.

Os polos dominantes, como nós vimos, ficam em s = - 2,7 ± 3,6 i

Sendo assim, precisamos calcular essas distâncias:

Usando o critério do módulo:

K C K h 2 h 1 h 3 h 4 h 5 = 1

O módulo dos zeros fica no numerador e dos polos no denominador. Precisamos calcular esses módulos agora:

h 1 = 3,6 2 + 2,69 2 = 4,49

h 2 = 3,6 2 + 2,4 62 2 = 4,36

h 3 = 3,6 2 + 0,3 2 = 3 , 61

h 4 = 3,6 2 + 2,3 2 = 4,27

h 5 = 3,6 2 + 4 , 3 2 = 5 , 61

Portanto:

K C * 8 8 * 4,36 4,49 * 3,61 * 4 , 2 7 * 5 , 61 = 1

K C = 1,0 1

G C s = 1,0 1 s + 0 , 2 3 8 s + 0 , 0 1

Resposta

G C s = 1,01 s + 0,238 s + 0,01