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Exercícios Resolvidos de Compensadores de atraso de fase

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Enunciado

Um sistema com realimentação unitária e função de transferência mostrada abaixo está operando com uma resposta em malha fechada que tem overshoot de 15 % e tempo de sedimentação para uma faixa de 2 % de 1,15 s

G s = 46 s ( s + 7 )

  1. Calcule o erro em regime permanente para uma entrada em rampa unitária.
  2. Calcule um compensador de atraso de fase para melhorar o erro em regime permanente por um fator de 20.
  3. Calcule o erro em regime permanente para o sistema compensado.

Passo 1

Primeiramente devemos calcular o erro em regime permanente para o sistema sem compensação.

Para uma entrada rampa, teremos a seguinte expressão para o erro:

e ∞ = 1 lim s → 0 ⁡ s G s

Sendo assim:

e ∞ = 1 lim s → 0 ⁡ s 46 s ( s + 7 ) = 7 46 = 0,152

Passo 2

Devemos agora projetar o compensador que reduzirá esse erro em vinte vezes.

O primeiro passo será encontrar o polo dominante em malha fechada. O polo pode ser encontrado através da expressão:

s = - ζ ω n ± i ω n 1 - ζ 2

O fator de amortecimento ζ pode ser encontrado diretamente da fórmula do overshoot:

O S = e - ζ π 1 - ζ 2

ζ = 0,517

Para encontrar ω n devemos usar a fórmula do tempo de sedimentação para uma faixa de 2 % :

T s = 4 ζ ω n

ω n = 4 ζ T s = 6,73

Portanto, o polo dominante será:

s = - 3,5 ± 5,8 i

Passo 3

Vamos representar no nosso diagrama agora como estamos até aqui.

Os “x” vermelhos são os polos em malha aberta da função de transferência, e os pontos pretos são os polos dominantes.

Passo 4

Precisamos agora implementar nosso compensador. Para isso precisamos encontrar a relação entre as posições do zero e do polo.

O objetivo é fazer com que o erro seja reduzido 20 vezes, ou seja

e ∞ = 1 lim s → 0 ⁡ s C ( s ) G s = 0,0076

1 lim s → 0 ⁡ s s + a s + b 46 s s + 7 = 0,0076

1 46 a 7 b = 0,0076

a b = 20

Nesse caso a relação entre polo e zero deu igual ao fator de redução do erro porque se trata de uma trata rampa e a função de transferência é do tipo 1. Nem sempre esses valores coincidirão.

Passo 5

Agora que já sabemos a relação entre a posição do polo e do zero, já podemos posicioná-los.

Sendo assim, devemos arbitrar um valor para o polo e posicionar o zero seguindo a relação que encontramos.

Lembrando que é preciso que ambos os valores sejam bem baixos.Vamos arbitrar:

b = - 0,01

a = - 0,2

Passo 6

Por enquanto a função de transferência do compensador está assim:

C s = K C s + 0,2 s + 0,01

Só resta então calcular o valor do ganho K C .

Vamos colocar nossos polos e zeros no diagrama de lugar das raízes para conseguir calcuar o ganho do compensador.

Para calcular o ganho do compensador, devemos usar o critério do módulo, que diz que o produto de todos os módulos é igual a 1 . Sendo que os módulos podem ser calculados como a distância de cada zero/polo ao polo dominante que está repesentado pelo ponto preto.

Os polos dominantes, como nós vimos, ficam em s = - 3,5 ± 5,8 i

Sendo assim, precisamos calcular essas distâncias:

Usando o critério do módulo:

K C K h 3 h 1 h 2 h 4 = 1

O módulo dos zeros fica no numerador e dos polos no denominador. Precisamos calcular esses módulos agora:

h 1 = 5,8 2 + 3,5 2 = 6,77

h 2 = 5,8 2 + 3,49 2 = 6,77

h 3 = 5,8 2 + 3,3 2 = 6,67

h 4 = 5,98 2 + 3,5 2 = 6,77

Portanto:

K C * 46 * 6,67 6,77 * 6,77 * 6,77 = 1

K C = 1,01

G C s = 1,01 s + 0,2 s + 0,01

Passo 7

e ∞ = 1 lim s → 0 ⁡ s C ( s ) G s

1 lim s → 0 ⁡ 1,01 s s + 0,2 s + 0,01 46 s s + 7 = 0,0076

e ∞ =   1 1,01 0,2 0,01 46 7 = 0,0075

Resposta

  1. e ∞ = 0,152
  2. G C s = 1,01 s + 0,2 s + 0,01
  3. e ∞ = 0,0075