Responde Aí

Exercícios Resolvidos de Compensadores de atraso de fase

Ver Teoria

Enunciado

Um sistema com realimentação unitária e função de transferência mostrada abaixo está operando com uma resposta em malha fechada que tem overshoot de 10 % e tempo de sedimentação para uma faixa de 2 % de 2,15 s

G s = 41 ( s + 2 ) ( s + 3 ) ( s + 7 )

  1. Qual é o valor da constante de erro estático apropriada?
  2. Obtenha a função de transferência para uma estrutura de atraso de fase de modo que a constante de erro estático seja igual a 4 sem alterar significativamente os polos dominantes do sistema em compensação.

Passo 1

Para calcular a constante de erro, k p , devemos fazer o limite s → 0 na função de transferência já que:

e ∞ = 1 1 + lim s → 0 ⁡ G s = 1 1 + k p

k p = lim s → 0 ⁡ 41 ( s + 2 ) ( s + 3 ) ( s + 7 ) = 41 42 = 0,976

Passo 2

Devemos agora projetar o compensador de atraso de fase que produzirá um k p igual a 4 .

O primeiro passo será encontrar o polo dominante em malha fechada. O polo pode ser encontrado através da expressão:

s = - ζ ω n ± i ω n 1 - ζ 2

O fator de amortecimento ζ pode ser encontrado diretamente da fórmula do overshoot:

O S = e - ζ π 1 - ζ 2

Para um overshoot de 10 % :

ζ = 0,59

Para encontrar ω n devemos usar a fórmula do tempo de sedimentação para uma faixa de 2 % :

T s = 4 ζ ω n

ω n = 4 ζ T s = 3,15

Portanto, o polo dominante será:

s = - 1,86 ± 2,54 i

Passo 3

Vamos representar no nosso diagrama agora como estamos até aqui.

Os “x” vermelhos são os polos em malha aberta da função de transferência, e os pontos pretos são os polos dominantes da resposta.

Passo 4

Precisamos agora implementar nosso compensador. Para isso precisamos encontrar a relação entre as posições do zero e do polo.

Nós queremos que o nosso k p seja 4 , então:

lim s → 0 ⁡ s + a s + b 41 ( s + 2 ) ( s + 3 ) ( s + 7 ) = 4

a b 41 42 = 4

a b = 4,1

Passo 5

Agora que já sabemos a relação entre a posição do polo e do zero, já podemos posicioná-los.

Sendo assim, devemos arbitrar um valor para o polo e posicionar o zero seguindo a relação que encontramos.

Lembrando que é preciso que ambos os valores sejam bem baixos.Vamos arbitrar:

b = - 0,01

a = - 0,041

Passo 6

Por enquanto a função de transferência do compensador está assim:

C s = K C s + 0,041 s + 0,01

Só resta então calcular o valor do ganho K C .

Vamos colocar nossos polos e zeros no diagrama de lugar das raízes para conseguir calcuar o ganho do compensador.

Para calcular o ganho do compensador, devemos usar o critério do módulo, que diz que o produto de todos os módulos é igual a 1 . Sendo que os módulos podem ser calculados como a distância de cada zero/polo ao polo dominante que está repesentado pelo ponto preto.

Os polos dominantes, como nós vimos, ficam em s = - 1,86 ± 2,54 i

Sendo assim, precisamos calcular essas distâncias:

Usando o critério do módulo:

K C K h 2 h 1 h 3 h 4 h 5 = 1

O módulo dos zeros fica no numerador e dos polos no denominador. Precisamos calcular esses módulos agora:

h 1 = 2,54 2 + 1,85 2 = 3,14

h 2 = 2,54 2 + 1,819 2 = 3,12

h 3 = 2,54 2 + 0,86 2 = 2,68

h 4 = 2,54 2 + 0,14 2 = 2,54

h 5 = 2,54 2 + 5,14 2 = 5,73

Portanto:

K C * 41 * 3,12 3,14 * 2,68 * 2,54 * 5,73 = 1

K C = 0,96

G C s = 0,96 s + 0,041 s + 0,01

Resposta

  1. k p = 0,976
  2. G C s = 0,96 s + 0,041 s + 0,01