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Exercícios Resolvidos de Compensadores de atraso de fase

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Enunciado

Um sistema com realimentação unitária e função de transferência mostrada abaixo está operando com uma resposta em malha fechada que tem overshoot de 10 % e tempo de sedimentação para uma faixa de 2 % de 3,6 s

G s = 28 s ( s + 3 ) ( s + 7 )

  1. Qual é o valor do erro em estado estacionário para uma entrada rampa unitária?
  2. Obtenha a função de transferência para uma estrutura de atraso de fase de modo que o erro em estado estacionário seja igual a 0,25 sem alterar significativamente os polos dominantes do sistema em compensação.

Passo 1

A fórmula para o cálculo do erro para uma entrada rampa é essa:

e ∞ = 1 lim s → 0 ⁡ s G s

Nós vimos como se chega nessa fórmula na aula de erros em regime permanente, se você tiver dúvida, dá uma olhadinha lá.

Para nossa função de transferência:

e ∞ = 1 lim s → 0 ⁡ s 28 s ( s + 3 ) ( s + 7 ) = 21 28

e ∞ = 0,7 5

Passo 2

Devemos agora projetar o compensador de atraso de fase que produzirá um erro em regime permanente, e ∞ , igual a 0,25 .

O primeiro passo será encontrar o polo dominante em malha fechada. O polo pode ser encontrado através da expressão:

s = - ζ ω n ± i ω n 1 - ζ 2

O fator de amortecimento ζ pode ser encontrado diretamente da fórmula do overshoot:

O S = e - ζ π 1 - ζ 2

Para um overshoot de 10 % :

ζ = 0,59

Para encontrar ω n devemos usar a fórmula do tempo de sedimentação para uma faixa de 2 % :

T s = 4 ζ ω n

ω n = 4 ζ T s = 1,88

Portanto, o polo dominante será:

s = - 1 , 1 ± 1 , 5 i

Passo 3

Vamos representar no nosso diagrama agora como estamos até aqui.

Os “x” vermelhos são os polos em malha aberta da função de transferência, e os pontos pretos são os polos dominantes da resposta.

Passo 4

Precisamos agora implementar nosso compensador. Para isso precisamos encontrar a relação entre as posições do zero e do polo.

Nós queremos que o nosso erro em regime permanente seja 0,25 então:

e ∞ = 1 lim s → 0 ⁡ s s + a s + b 30 s ( s + 3 ) ( s + 7 ) = 0,25

lim s → 0 ⁡ s + a s + b 28 ( s + 3 ) ( s + 7 ) = 4

28 a 21 b = 4

a b = 3

Passo 5

Agora que já sabemos a relação entre a posição do polo e do zero, já podemos posicioná-los.

Sendo assim, devemos arbitrar um valor para o polo e posicionar o zero seguindo a relação que encontramos.

Como eles não precisam estar tão afastados um do outro assim, apenas três vezes, podemos escolher um valor para o polo não tão pequeno.Vamos arbitrar:

b = - 0,3

a = - 0,1

Passo 6

Por enquanto a função de transferência do compensador está assim:

C s = K C s + 0 , 3 s + 0,1

Só resta então calcular o valor do ganho K C .

Vamos colocar nossos polos e zeros no diagrama de lugar das raízes para conseguir calcuar o ganho do compensador.

Para calcular o ganho do compensador, devemos usar o critério do módulo, que diz que o produto de todos os módulos é igual a 1 . Sendo que os módulos podem ser calculados como a distância de cada zero/polo ao polo dominante que está repesentado pelo ponto preto.

Os polos dominantes, como nós vimos, ficam em s = - 1,1 ± 1,5 i

Sendo assim, precisamos calcular essas distâncias:

Usando o critério do módulo:

K C K h 3 h 1 h 2 h 4 h 5 = 1

O módulo dos zeros fica no numerador e dos polos no denominador. Precisamos calcular esses módulos agora:

h 1 = 1 , 5 2 + 1 , 1 2 = 1,86

h 2 = 1 , 5 2 + 1,0 2 = 1,80

h 3 = 1 , 5 2 + 0,8 2 = 1,70

h 4 = 1 , 5 2 + 1 , 9 2 = 2,42

h 5 = 1 , 5 2 + 5 , 9 2 = 6,09

Portanto:

K C * 28 * 1,70 1 , 86 * 1 , 8 0 * 2,4 2 * 6 , 09 = 1 ,

K C = 1,04

G C s = 1,04 s + 0 , 3 s + 0,1

Resposta

  1. e ∞ = 0,75
  2. G C s = 1,04 s + 0,3 s + 0,1