Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco e Teorema Fundamental do Cálculo

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Enunciado

Calcule ∫ - 1 1 x 3 sin ⁡ ( x 2 + 1 ) d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral

∫ - 1 1 x 3 sin ⁡ x 2 + 1 d x

E pediu para calcularmos!

Mas como resolver isso?

Precisamos lembrar da paridade de funções! Uma função é considerada par quando

f x = f ( - x )

E ímpar quando

f - x = - f ( x )

Tá, mas o que isso tem a ver com a área! TUDO!

Quando temos uma função ímpar e limites de integração simétricos, a área é zero! Isso porque a área antes do eixo é igual a área depois do eixo e elas se cancelam!

Lembrando que não existe área geométrica negativa, o que estamos calculando é uma integral que podemos representar geometricamente por uma área!

Se a função for par, podemos calcular a área de metade do intervalo apenas, pois as duas serão iguais!

Beleza?

Nossa missão é analisar a paridade dessa função e descobrir que área estamos lidando

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar olhando nossa função

f x = x 3 sin ⁡ x 2 + 1

Trocando x por - x temos

f - x = - x 3 sin ⁡ - x 2 + 1

f - x = - x 3 sin ⁡ x 2 + 1

Ou seja!

f - x = - f ( x )

Beleza?

Temos uma função ímpar! E portanto a integral que tem limites simétricos entre - 1 e 1 é zero!

Passo 3

Ainda podemos ver o esboço do gráfico dessa função

A área à esquerda é igual à da direita, mas com sinal trocado pois está abaixo do eixo dos x ! Isso significa que somando as duas temos zero!

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

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