Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco e Teorema Fundamental do Cálculo

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Enunciado

21) As coordenadas ( x G , y G ) do centro de gravidade de um arco de curva (homogêneo) são dadas por

x G = ∫ x d s s y G = ∫ y d s s  

Em que s = ∫ d s é o comprimento do arco. Calcule as coordenadas do centro de gravidade dos arcos abaixo:

  1. Semicircunferência y = a 2 - x 2 para x ∈ [ - a , a ]

Passo 1

Fala aí pessoal! Tudo bem? Esse é um probleminha de comprimento de arcos usando as integrais. No fundo ele quer que a gente resolva essas três integrais aqui:

s = ∫ d s   x G = ∫ x d s s y G = ∫ y d s s

Que doideira, né? Mas calma!! Aqui a gente lembra que em comprimento de arcos, aquele d s ali tem uma cara conhecida. Se conseguimos escrever y como função de x , ele tem essa cara aqui: d s = 1 + y ' x 2 d x

Onde y ' x é a derivada da função y em relação a x . E aí a nossa integração vai ser em x .  

Mas... uma última dica é que se tivermos uma curva em que podemos escrever x e y como função de um parâmetro t (geralmente problemas que envolvem círculos 😊) o d s é: d s =   x ' t 2 + y ' t 2 d t

Então vamos lá montar o nosso problema!

Passo 2

Vamos começar calculando s . Como estamos em um semicírculo e ele diz que o x varia de - a até a , sabemos que s é o comprimento de um semicírculo de raio a , certo?Então nesse item a gente não precisa fazer muita conta... OBA! Pois s vai ser a metade do comprimento do círculo: s = C o m p r i m e n t o   t o t a l 2 s = 2   π a 2 = π a

Beleza!

Passo 3

Agora vamos calcular a coordenada x G ! Para isso, vale a pena a gente escrever essa curva em coordenadas polares: x t = a cos ⁡ t y t = a sen ⁡ t

Como é um semicírculo, temos 0 ≤ t ≤ π . Com isso e usando d s para curvas parametrizadas:

d s =   x ' t 2 + y ' t 2 d t temos que resolver então essa integral daqui: x G =   ∫ x d s s x G = 1 π a ∫ 0 π a cos ⁡ t a cos ⁡ t ' 2 + a sen ⁡ t ' 2 d t x G = 1 π a ∫ 0 π a cos ⁡ t - a   s e n   t 2 + a cos ⁡ t 2 d t

Arrumando um pouco a integral temos: x G = 1 π ∫ 0 π cos ⁡ t a 2 ( s e n 2 t + cos 2 ⁡ t ) d t = a π ∫ 0 π cos ⁡ t d t  

Que maravilhaaa! Agora temos uma integral bem mais simples para resolver, resolvendo ela, temos: x G = a π × 0 x G = 0

Passo 4

Agora vamos calcular a coordenada y G . Da mesma maneira que x G temos que resolver essa integral daqui: y G =   ∫ y d s s

Usando as coordenadas polares temos: y G = 1 π a ∫ 0 π a sen ⁡ t a cos ⁡ t ' 2 + a sen ⁡ t ' 2 d t

Já vimos que aquela raiz quadrada resulta em a , então temos:

y G = 1 π a ∫ 0 π a 2 sen ⁡ t d t =   a π ∫ 0 π sen ⁡ t d t

Que maravilhaaa! Agora temos uma integral bem mais simples para resolver, resolvendo essa integral temos: y = a π × 2 y G = 2 a π

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??

Resposta

x G = 0 y G = 2 a π

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