Exercícios Resolvidos de Comprimento de Arco e Teorema Fundamental do Cálculo

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Enunciado

A região limitada pelas curvas y = x e y = x 2 no primeiro quadrante é rotacionada em torno do eixo O y . Calcule o volume do sólido obtido

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa região

y = x

y = x 2

E pediu para acharmos o volume do sólido de revolução em torno de y !

Mas como resolver isso?

Saca só como fica nossa região:

Se rotacionarmos a intersecção em torno de y vamos ter tipo um copo vazado, em que o raio vai variar da função mais à direita menos a função mais à esquerda, mas essa função é de y ! Pois vamos rotacionar em torno de y !

Beleza?

Nossa missão é montar a integral, acertar os limites de integração e partiu integrar!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar montando nossa integral:

V = π ∫ 0 1 y 2 - y 2 d x

Beleza?

Agora é só integrar!

Passo 3

Integrando temos

V = π ∫ 0 1 y - y 2 d x

= π y 2 2 - y 3 3 0 1 = π 1 2 - 1 3 = π 6

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

π 6

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