(Adaptada) Um líquido escoa para baixo sobre uma superfície plana inclinada em um filme laminar, permanente, completamente desenvolvido e de espessura . Considerando as equações da continuidade e Navier-Stokes simplificadas abaixo, obtenha expressões para o perfil de velocidades do líquido, a distribuição de tensões de cisalhamento, a vazão volumétrica e velocidade média. Relacione a espessura do filme de líquido com a vazão volumétrica por unidade de água com espessura , escoando sobre uma superfície de largura , inclinada de em relação à horizontal.
Equação da continuidade simplificada
Equação de Navier-Stokes simplificada
Passo 1
UAU! Esse exercício pediu coisa para caramba, mas nem deu tanta informação assim! Quem poderá nos defender?
Primeiro, vamos ilustrar o que está acontecendo:
Temos duas condições de contorno. Uma delas é a condição de não deslizamento. Na placa, ou seja em y = 0, a velocidade u do fluido é 0, pois a placa está parada.
A outra está relacionada a superfície livre, ou seja, na superfície do fluido mais distante da placa (y=h). Já que não há um sólido ali para que seja possível aplicar uma força paralela ao movimento, podemos considerar que a tensão de cisalhamento ali é zero!
Lembrando que a água é um fluido newtoniano, vale a Lei de Newton da Viscosidade
Logo, a taxa de deformação du/dy será zero em y = h
Essas são as condições de contorno que vão nos ajudar a resolver a questão. Vamos voltar para as equações então?
Passo 2
As equações de Navier-Stokes simplificadas para esse caso foram dadas no enunciado e são essas aqui:
Para descobrir o perfil de velocidade que o enunciado pediu, vamos integrar a primeira equação, beleza? Vamos isolar o termo no qual a velocidade u aparece!
Daí, pela geometria do problema, a componente da gravidade na direção x é:
Substituindo em Navier-Stokes
Agora sim, hora de integrar. No lado direito, nenhuma variável depende de y 😉
Precisamos integrar mais uma vez
Passo 3
Para descobrir e , vamos aplicar as condições do contorno no Passo 1. A primeira foi a condição de não deslizamento:
Aplicando no perfil de velocidade
Atualizando o perfil de velocidade:
A segunda condição de contorno foi da tensão cisalhante na superfície livre (y=h)
A expressão de du/dy é
Em y=h:
Logo
Atualizando o perfil de velocidades
Colocando em evidência
Show! Encontramos o perfil de velocidades usando as condições de contorno! Com ele dá para achar a expressão da tensão cisalhante
Passo 4
Para achar a distribuição de tensão de cisalhamento, vamos usar a Lei de Newton da Viscosidade
No passo anterior descobrimos u, logo du/dy é:
Substituindo na Lei de Newton da Viscosidade:
E essa é a distribuição de tensão cisalhante
Passo 5
Agora é a vez da vazão volumétrica. Vamos usar a definição de vazão:
A área é a área transversal do escoamento. É uma largura b (entrando na tela) multiplicada pela altura y
Sabemos que u é o perfil de velocidade
Integrando
Essa é a vazão volumétrica :D Suuucesso! Agora, vamos calcular a velocidade média.
Passo 6
Sei que é muita coisa, mas a velocidade média já tá quase toda calculada. Ela é vazão volumétrica sobre área transversal
Acabamos de calcular Q, vamos substituir
Simplificando
Viu! Rapidinho achamos :D
Passo 7
Finalmente, vamos lembrar da última parte do enunciado
“Relacione a espessura do filme de líquido com a vazão volumétrica em um filme de água com espessura , escoando sobre uma superfície de largura , inclinada de em relação à horizontal.”
Traduzindo: encontre a vazão volumétrica utilizando esses números indicados na figura
Lembrando que já calculamos a expressão da vazão volumétrica
Substituindo
Como o fluido é a água
YAY! Fechamos o exercício 😉 Foi longo, mas olha quanta coisa conseguimos achar utilizando as condições de contorno em Navier-Stokes!
Resposta
Perfil de velocidade
Distribuição de tensões de cisalhamento
Expressão de vazão volumétrica
Velocidade média
Vazão volumétrica para
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