Exercícios Resolvidos de Condições de Contorno

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Enunciado

Fluido de um grande reservatório à temperatura T 0 escoa por um tubo circular de raio R. As paredes do tubo estão envolvidas por uma resistência elétrica que fornece calor para o fluido a uma taxa q w (energia por unidade de área da parede). Se quisermos analisar este problema usando as equações completas da continuidade, de Navier-Stokes e da energia, quais são as condições de contorno apropriadas para a análise?

Passo 1

Oi! Nesse exercício, vamos pensar nas condições de contorno não só para a continuidade e Navier-Stokes (o que envolve velocidade e pressão), como também para a equação da energia, o que envolve temperatura.

As nossas condições de contorno são:

- condições de entrada (z = 0)

- condições de fronteira (parede)

Condições de entrada

A situação mais comum nesse tipo de problema é considerar que o perfil de velocidade na entrada do tubo ( z = 0 ) é conhecido, uniforme e puramente axial (componente radial da velocidade é nula). A velocidade é descrita por u z ( r ,   z )

u z ( r ,   0 ) = U

u r ( r ,   0 ) = 0

Do mesmo modo, podemos considerar a temperatura na entrada (z = 0) uniforme e igual a uma constante T 0

T ( r ,   0 ) = T 0

Além disso, para resolver Navier-Stokes, a pressão na entrada também pode ser conhecida

p ( r ,   0 ) = p 0

Beleza, conhecemos as condições de entrada!

Passo 2

Na parede, vamos considerar a condição de não deslizamento

V p a r e d e = V f l u i d o

A parede é onde r = R e ela está parada, então

u z ( R ,   z ) = 0

Além disso, assumimos que o escoamento ocorre apenas na direção z (puramente axial)

u r ( R ,   z ) = 0

Para fechar, a cereja do bolo sobre a fronteira é essa parte do enunciado:

“As paredes do tubo estão envolvidas por uma resistência elétrica que fornece calor para o fluido a uma taxa q w (energia por unidade de área da parede)”

Essa taxa q w pode ser definida dessa forma (considerando que o calor entrando no sistema é positivo):

q w = k ∂ T ∂ r

Será que essas unidades estão certas? Vamos conferir

q w W m 2 = k W m . K ∂ T ( K ) ∂ r ( m )

W m 2 = W . K m 2 . K =   W m 2

Confere! Então, essa equação é válida na parede, ou seja, em r = R

q w = k ∂ T ∂ r r = R

Agora sim, cereja do bolo colocada, encontramos as condições de contorno no problema. o/

Resposta

Condições de entrada

u z r ,   0 = U

u r ( r ,   0 ) = 0

T r ,   0 = T 0

p ( r ,   0 ) = p 0

Condições de fronteira (parede)

u z ( R ,   z ) = 0

u r ( R ,   z ) = 0

q w = k ∂ T ∂ r r = R

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