Exercícios Resolvidos de Condições de Contorno

White, F., Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Porto Alegre: AMGH Editora, 2011, pp. 290, ex. P 4.45

Vamos analisar o escoamento oscilatório no tubo U da figura usando as equações completas da continuidade e de Navier-Stokes. Quais são as condições de contorno adequadas para resolver este problema?

Passo 1

Temos um escoamento oscilatório... o que isso significa?

Significa que nesse tubo em U existe uma situação inicial e outra final, e a coluna de líquido oscila para chegar na posição de equilíbrio. Então o escoamento nesse exercício não é permanente: o regime é transiente.

Ok! Então quais seriam as condições de contorno?

Como nosso regime é transiente, isto é, as propriedades variam com o tempo, nós precisamos conhecer as condições iniciais. Precisamos responder à pergunta: Em quais alturas z estão cada lado da coluna de líquido em t = 0?

Posicionando a referência

z e s q ( t = 0 ) = z 0

z e s q ( t = 0 ) = - z 0

Além disso, vamos assumir que o sistema está inicialmente parado como condição inicial também

u r ,   z ,   0 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Até aqui definimos as condições iniciais do problema. Agora precisamos definir as condições de fronteira. Nesse problema temos 2 tipos de condições de fronteira

- Paredes (o tubo em U é uma barreira sólida ao escoamento)

- Interfaces (a coluna de líquido tem 2 interfaces com a atmosfera)

Nas paredes, onde o raio é o raio do tubo (r=R), pela condição de não deslizamento, a velocidade do fluido será zero

u R , z , t = 0

Além disso, na interface temos um sistema fluido/atmosfera. Considerando que a variação de altura da coluna não é brusca, a pressão do fluido é a pressão atmosférica nos pontos de interface

p i = p a t m

Com essas condições, conseguimos resolver o problema :D

Resposta

Condições iniciais

z e s q ( t = 0 ) = z 0

z e s q ( t = 0 ) = - z 0

u r ,   z ,   0 = 0

Condições de fronteira

u R , z , t = 0

p i = p a t m

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