Exercícios Resolvidos de Condições de Contorno

Ver Teoria

Enunciado

Um filme de espessura constante de um líquido viscoso flui em movimento laminar descendo por uma placa inclinada a um ângulo θ , como na Figura. O perfil de velocidade é:

u = C y 2 h - y                               v = w = 0

Encontre a constante C   em termos do peso específico e da viscosidade e do ângulo θ . Encontre a vazão volumétrica Q por unidade de largura em termos desses parâmetros.

Passo 1

Fala galera! Então esse exercício envolve um pouquinho de Equação da Continuidade, um pouco de Navier-Stokes e no final vamos aplicar as condições de contorno que o problema nos fornece.

Temos as seguintes informações de contorno:

p x , y = h = p a

u y = 0 = 0

Líquidos são normalmente incompressíveis e apresentam viscosidade constante:

ρ = c o n s t a n t e

μ = c o n s t a n t e

Passo 2

Vamos checar para ver se a continuidade é satisfeita nesse escoamento:

∂ ρ ∂ t + ∂ ∂ x ρ u + ∂ ∂ y ρ v + ∂ ∂ z ρ w = 0

Aplicando nosso campo de velocidades:

u = C y 2 h - y ,   v = w = 0

Sobra o seguinte termo

∂ ∂ x ρ u = 0

Que também é zero, logo o escoamento satisfaz a continuidade.

Passo 3

Como a massa específica e a viscosidade são constantes, podemos utilizar as esquações de Navier-Stokes:

ρ g x - ∂ p ∂ x + μ ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 = ρ ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z

ρ g y - ∂ p ∂ y + μ ∂ 2 v ∂ x 2 + ∂ 2 v ∂ y 2 + ∂ 2 v ∂ z 2 = ρ ∂ v ∂ t + u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z

Sabemos que u depende apenas de y e que v = w = 0

ρ g x - ∂ p ∂ x + μ ∂ 2 u ∂ y 2 = 0

ρ g y - ∂ p ∂ y = 0

Se decompormos a força gravitacional g nas componentes x , y fornecidadas:

g x = g sin ⁡ θ

g y = g cos ⁡ θ

Substituindo na primeira expressão o valor de u = C y 2 h - y e g x :

ρ g sin ⁡ θ - ∂ p ∂ x + μ - 2 C = 0

- 2 μ C = ∂ p ∂ x - ρ g sin ⁡ θ

Se p x , h = p a , em qualquer x a pressão é constante. Logo:

2 μ C = ρ g sin ⁡ θ

C = ρ g sin ⁡ θ 2 μ

Ou em função do peso específico γ = ρ g

C = γ sin ⁡ θ 2 μ

Passo 4

Sabemos de quando calculávamos vazão que:

Q = ∫ V d A

No nosso caso calcularemos a vazão por unidade de largura, que no caso é z

Se d A = d y d z

Q = ∫ 0 h u   d y = ∫ 0 h C y 2 h - y   d y

Q = ∫ 0 h 2 C h y - C y ²   d y

Q = C h y ² - C 3 y ³ h 0

Q = 2 3 C h 3

Substituindo C = γ sin ⁡ θ 2 μ

Q = 1 3 h 3 γ sin ⁡ θ μ

Resposta

Letra a)

C = γ sin ⁡ θ 2 μ

Letra b)

Q = 1 3 h 3 γ sin ⁡ θ μ

Exercícios de Livros Relacionados

O método euleriano de análise do escoamento de fluidos é mais semelhante ao estudo de um sistema ou de um volume de controle? Explique.
Aproximamos o escoamento do ar em um acessório de aspirador de pó seguindo as componentes da velocidade no plano central (o plano x y ): u = - V ˙ x π L x 2 + y 2 + b 2 x 4 + 2 x 2 y 2 + 2 x 2 b 2 + y
Considerando a metade a montante x0 doo campo de escoamento do Problema 4-94 (escoamento sobre um cilindro circular) . Introduzindo um parâmetro chamado função de corrente ψ , que é constante ao longo
Considere um campo de escoamento em regime permanente e bidimensional cuja componente x da velocidade é dada por u = a + b x - c 2 Onde a ,b e c são constante com dimensões apropriadas. Com qual forma
Considere o campo de escoamento do Problema 4-94 (escoamento sobre um cilindro circular). Calcule as duas taxas de deformação linear no plano r θ ; ou seja, calcule ε r r e ε θ θ . Discuta se os segme