Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação – Método Matricial

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Enunciado

Coloque a equação dada abaixo na forma padrão de uma equação de cônica. Para isto realize uma rotação e/ou uma translação de eixos.

x 2 + 3 x y + 2 y 2 + x = 0

Passo 1

Encontrando o ângulo de rotação

Como temos um termo misto - 10 x y , vamos ter que fazer uma rotação beleza?

Descobrindo o ângulo:

t g 2 θ = 3 2 - 1

t g 2 θ = 3

2 θ = a r c t g 3

2 θ = 60 °

θ = 30 °

Boa, então vamos rotacionar nossa cônica em 30 ° :)

Passo 2

Convertendo o sistema x O y para u O v

Pela relação de transformação de x O y para u O v :

x = u . c o s θ - v . s e n θ y = u . s e n θ + v . c o s θ

Sabendo que s e n θ = 1 2 e c o s θ = 3 2 :

x = u . 3 2 - v 2 y = u 2 + v . 3 2   ( I )

Agora precisamos achar os coeficientes A ' e C ' da nossa cônica.

Passo 3

Encontrando os coeficientes A ' e C ' , análogos a A e C

Os novos coeficientes A ' e C ' vão ser dados por:

A ' + C ' = 1 + 2 A ' - C ' = 3 s e n ( 60 ° )

A ' + C ' = 3 A ' - C ' = 3 3 2

A ' + C ' = 3 A ' - C ' = 2

Somando as duas equações:

2 A ' = 5

A ' = 5 2

Substituindo na primeira linha:

C ' = 1 2

Passo 4

Encontrando os termos lineares

Agora, vamos substituir as relações do sistema ( I ) na parte linear da equação do enunciado, que no caso é só x hehe

x = u . 3 2 - v 2

x = 3 u - v 2

Então vamos substituir 3 u - v 2 no lugar de x na equação original ok?

Passo 5

Escrevendo a nova equação

Vamos escrever nossa nova equação da seguinte maneira:

A ' . u 2 + C ' . v 2 + 3 u - v 2 = 0

5 2 u 2 + 1 2 v 2 + 3 u - v 2 = 0

Como tudo está dividido por 2, podemos apenas escrever:

5 u 2 + v 2 + 3 u - v = 0

Passo 6

Descobrindo a cônica

5 u 2 + 3 u 5 + ( v 2 - v ) = 0

Completando quadrados:

5 u 2 + 3 u 5 + 3 100 + v 2 - v + 1 4 = 15 100 + 1 4

5 u + 3 10 2 + v - 1 2 2 = 2 5

Dividindo tudo por 2 5 :

u + 3 10 2 2 25 + v - 1 2 2 2 5 = 1

Passo 7

Agora vamos realizar uma translação assim:

U = u + 3 10 V = v - 1 2

Substituindo na nossa equação:

U 2 2 25 + V 2 2 5 = 1

Agora sim, temos nossa equação devidamente rotacionada e transladada :)

Resposta

U 2 2 25 + V 2 2 5 = 1

U = u + 3 10 V = v - 1 2

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