Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação – Método Matricial

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Enunciado

Identifique, esboce e determine as coordenadas de um foco (no sistema x O y ) da cônica

x 2 - 2 x y + y 2 - 8 x - 8 y + 16 = 0

Passo 1

Encontrando o ângulo de rotação

Antes de tudo, repara que a gente tem nessa cônica um termo misto - 2 x y , isso quer dizer o que?? Que vamos ter que fazer uma rotação hehe

Ta, mas em qual ângulo??

Vamos usar a relação:

t g 2 θ = B C - A

A gente viu na teoria que a equação da cônica é escrita assim:

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0

Então nesse caso, B = - 2 , C = 1 e A = 1

Mas peraí!! A gente vai ter um 0 no denominador!!:

t g 2 θ = - 2 1 - 1 = - 2 0

Pois é, isso quer dizer que a tangente desse ângulo não existe!!

Qual o ângulo que não tem tangente?? Issoo, o ângulo de 90 ° !! Então sempre que C = A , vamos ter:

2 θ = 90 °

θ = 45 °

Então vamos rotacionar nossa cônica em 45 ° :D

Passo 2

Convertendo o sistema x O y para u O v

Vamos converter o sistema x O y (equação do enunciado) no sistema u O v (cônica rotacionada) usando a relação:

x = u . c o s θ - v . s e n θ y = u . s e n θ + v . c o s θ

Sabendo que s e n θ = c o s θ = 2 2 = 1 2 :

x = 1 2 ( u - v ) y = 1 2 ( u + v )   ( I )

Beleza, temos x e y em função de u e v . Agora precisamos achar os coeficientes A ' e C ' da nossa cônica.

Passo 3

Encontrando os coeficientes A ' e C ' , análogos a A e C

Os novos coeficientes A ' e C ' vão ser dados pelo sistema:

A ' + C ' = A + C A ' - C ' = B s e n ( 2 θ )

Na nossa equação original, A = C = 1 , então A + C = 2 .

Além disso, B s e n ( 2 θ ) = - 2 s e n 90 ° = - 2 1 = - 2

Então:

A ' + C ' = 2 A ' - C ' = - 2

Somando as duas equações, temos

2 A ' = 0

A ' = 0

Substituindo na primeira linha:

C ' = 2

Ou seja, não teremos o termo u ² na nossa nova equação (pois A ' = 0 ), enquanto o termo v ² será multiplicado por 2.

Passo 4

Encontrando os termos lineares

Agora, vamos finalmente substituir as relações do sistema ( I ) na parte linear da equação do enunciado.

Como assim na parte linear???

Isso quer dizer que vamos substituir apenas na parte que multiplica x e y :)

- 8 x - 8 y = - 8 1 2 u - v - 8 1 2 u + v

Fazendo a distributiva:

- 8 x - 8 y = - 8 u 2 + 8 v 2 - 8 u 2 - 8 v 2

- 8 x - 8 y = - 8 u 2 - 8 u 2

- 8 x - 8 y = - 16 u 2

- 8 x - 8 y = - 8 2 u

Ou seeeja, vamos substituir - 8 2 u no lugar dos termos - 8 x - 8 y da equação original :D

Passo 5

Escrevendo a nova equação

Agora que temos os coeficientes A ' , C ' e o termo linear, vamos substituir na equação (lembrando que mantemos o termo independente 16 ):

A ' . u 2 + C ' . v 2 - 8 2 u + 16 = 0

2 v 2 - 8 2 u + 16 = 0

Passo 6

Identificando a cônica

Boaa, encontramos nossa cônica rotacionada, ela também pode ser escrita assim:

u - 2 = v 2 4 2

Isso dá pra gente a equação de uma parábola com vértice em ( 2 ,   0 ) e parâmetro p = 2 .

O foco dessa parábola no sistema u O v é F ' = ( 2 2 ,   0 ) .

Usando as equações do sistema ( I ) pra transformar esse foco pro sistema x O y :

x = 1 2 2 2 - 0 = 2 y = 1 2 2 2 + 0 = 2

Então F = ( 2 ,   2 ) no sistema x O y .

Abaixo temos o esboço da parábola original (vermelha) e rotacionada (verde).

Resposta

Parábola.

F = ( 2 ,   2 ) no sistema x O y

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