Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação – Método Matricial

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Enunciado

Determine a equação reduzida e identifique a cônica dada pela equação abaixo. Esboce e indique apenas os parâmetros geométricos.

3 x 2 + 10 x y + 3 y 2 - 16 x - 16 y + 8 = 0

Passo 1

A equação da cônica tem um termo x y , ou seja, ela está rotacionada fechou? Vamos utilizar o método matricial pra conseguirmos a equação dela no sistema de coordenadas x ' O y ' .

Como nos coeficientes da equação da cônica temos que A = C , o nosso ângulo de rotação vai ser θ = 45 ° certo?

Substituindo naquelas relações da mudança de eixos que vimos, vamos ter:

x = 2 2 ( x ' - y ' )

y = 2 2 ( x ' + y ' )

Passo 2

Vamos agora encontrar os coeficientes A ' e C ' , lembrando que eles vão ser dados pelo sistema

A ' + C ' = A + C A ' - C ' = B s e n 2 θ

A ' + C ' = 6 A ' - C ' = 10

Resolvendo esse sistema, temos que A ' = 8 e C ' = - 2 .

Passo 3

O próximo passo é substituir as relações que encontramos pra x e y na parte linear da equação original:

- 16 x - 16 y

- 16 2 2 x ' - y ' - 16 2 2 x ' + y '

- 8 2 x ' + 8 2 y ' - 8 2 x ' - 8 2 y '

Então a parte linear da nossa equação no sistema x ' O y ' vai ser

- 16 2 x '

Passo 4

A equação da cônica no sistema x ' O y ' , então, vai ser dada por

8 x ' 2 - 2 y ' 2 - 16 2 x ' + 8 = 0

Dividindo tudo por 2:

4 x ' 2 - y ' 2 - 8 2 x ' + 4 = 0

Agora vamos ajustar essa equação pra descobrirmos que cônica é essa beleza?

Completando quadrados em x :

4 x ' 2 - 8 2 x ' + 8 - y ' 2 + 4 - 8 = 0

4 ( x ' 2 - 2 2 x ' + 2 ) - y ' 2 = 4

4 ( x ' - 2 ) ² - y ' 2 = 4

Passo 5

Fazendo a translação com X = x ' - 2 e Y = y ' , nossa equação fica assim

4 X 2 - Y 2 = 4

Dividindo tudo por 4:

X 2 - Y 2 4 = 1

Isso nos dá a equação de uma hipérbole certo? :)

Os parâmetros geométricos dela são

a = 1

b = 2

c = a 2 + b ² = 5

O esboço dela é mostrado abaixo

Resposta

Hipérbole.

X 2 - Y 2 4 = 1

a = 1

b = 2

c = 5

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