Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação – Método Matricial

Ver Teoria

Enunciado

Determine a equação reduzida e identifique a cônica dada pela equação abaixo. Esboce e indique as coordenadas dos focos no sistema de coordenadas x O y .

7 x 2 - 6 3 x y + 13 y 2 - 16 = 0

Passo 1

Bom, vamo lá, a gente tem uma equação geral de uma cônica. Os coeficientes dela são

A = 7

B = - 6 3

C = 13

F = - 16

Como B ≠ 0 , essa cônica está rotacionada.

Além disso, como D = E = 0 , ela não está transladada, ufaa!

Nesse caso, A ≠ C , então o ângulo não é 45 ° e podemos demorar um pouco mais pra acharmos a equação reduzida, mas nada impossível viu?

Então bora lá ajustar essa belezinha pro sistema de coordenadas x ' O y ' .

Passo 2

Precisamos descobrir pelo menos s e n ( 2 θ ) para descobrirmos os coeficientes A ' e C ' . Sabemos que

t g 2 θ = - 6 3 13 - 7

t g 2 θ = - 6 3 6

t g 2 θ = - 3

Passo 3

Achando a c o t g (é só inverter hehe)

c o t g 2 θ = - 1 3 = - 3 3

Beleza, mas o que queremos é s e n ( 2 θ ) , temos por relação trigonométrica:

s e n 2 θ = 1 1 + c o t g 2 2 θ

s e n 2 θ = 1 1 + - 3 3 2

s e n 2 θ = 1 1 + 3 9

s e n 2 θ = 1 12 9

s e n 2 θ = 3 12 = 3 2 3 = 3 2

Agora que temos o s e n 2 θ podemos seguir em frente :D

Passo 4

ENCONTRANDO OS COEFICIENTES A’ E C’

Vamos descobrir os coeficientes A ' e C ' :

A ' + C ' = A + C A ' - C ' = B s e n ( 2 θ )

A ' + C ' = 20 A ' - C ' = - 6 3 3 2

A ' + C ' = 20 A ' - C ' = - 12 3 3 = - 12

A ' + C ' = 20 A ' - C ' = - 12

Somando as duas equações:

2 A ' = 20 - 12

A ' = 4

Substituindo na segunda equação:

4 - C ' = - 12

C ' = 16

Boaa, achamos os coeficientes A ' e C ' :)

Passo 5

ESCREVENDO A EQUAÇÃO REDUZIDA EM X’OY’

Como a equação não tem parte linear, agora vamos só reescrever a equação no sistema x ' O y ' :

4 x ' 2 + 16 y ' 2 - 16 = 0

4 x ' 2 + 16 y ' 2 = 16

Dividindo tudo por 16 :

4 x ' 2 16 + 16 y ' 2 16 = 1

x ' 2 4 + y ' 2 1 = 1

Isso é a equação de uma elipse ao longo do eixo x ' , onde a = 2 , b = 1 e c 2 = a 2 - b 2 → c = 3 .

Então os focos dessa elipse, no sistema x ' O y ' são F 1 ' = ( 3 ,   0 ) e F 2 ' = ( - 3 ,   0 ) .

ENCONTRANDO OS FOCOS NO SISTEMA XOY

Opa, mas queremos os focos no sistema x O y !! E agora??

Para transformar as coordenadas do sistema x ' O y ' em x O y , temos a relação

x = x ' c o s θ - y ' s e n θ y = x ' s e n θ + y ' c o s θ

Mas pra acharmos as coordenadas de F 1 e F 2 no sistema x O y , precisamos de s e n θ e cos ⁡ θ !!

Passo 6

- Encontrar c o s θ e s e n θ

Tendo o sistema:

c o s 2 θ + s e n 2 θ = 1 c o s 2 θ - s e n 2 θ = c o s ⁡ ( 2 θ )

Podemos desenvolver a segunda equação assim:

c o s 2 θ - s e n 2 θ = cos ⁡ 2 θ = cotg ⁡ 2 θ . s e n ( 2 θ )

Substituindo os valores que temos:

c o s 2 θ - s e n 2 θ = - 3 3 . 3 2 = - 1 2

Então, nosso sistema fica assim

c o s 2 θ + s e n 2 θ = 1 c o s 2 θ - s e n 2 θ = - 1 2

Passo 7

Somando as duas equações do sistema:

2 c o s 2 θ = 1 - 1 2

2 c o s 2 θ = 1 2

c o s 2 θ = 1 4

c o s θ = 1 2

Substituindo isso na primeira equação:

1 4 + s e n 2 θ = 1

s e n 2 θ = 3 4

s e n θ = 3 2

Boaaa, agora podemos substituir naquela relação pra acharmos as coordenadas dos focos no sistema x O y !!

Passo 8

- Substituindo na relação

Voltando à relação:

x = x ' c o s θ - y ' s e n θ y = x ' s e n θ + y ' c o s θ

x = x ' 1 2 - y ' 3 2 y = x ' 3 2 + y ' 1 2

Vamos substituir as coordenadas dos focos F 1 e F 2 :

F 1 :   x = 3 1 2 - 0 3 2 y = 3 3 2 + 0 1 2 → x = 3 2       y = 3 2

F 2 :   x = - 3 1 2 - 0 3 2 y = - 3 3 2 + 0 1 2 → x = - 3 2       y = - 3 2

Então, as coordenadas dos focos no sistema x O y são F 1 = 3 2 , 3 2 e F 2 = - 3 2 ,   - 3 2 .

Abaixo temos essa elipse nos dois sistemas de coordenadas

Resposta

x ' 2 4 + y ' 2 1 = 1

F 1 = 3 2 , 3 2 e F 2 = - 3 2 ,   - 3 2

Exercícios de Livros Relacionados

No exercício 7, verifique que P é uma matriz estocástica regular e encontre o vetor de estado estacionário da cadeia de Markov associada. P = 1 / 4 2 / 3 3 / 4 1 / 3
No exercício 5, em cada parte, determine se P é uma matriz estocástica regular. P = 1 / 5 1 4 / 5 0
No exercício 3, use as Fórmulas (11) e (12) para calcular o vetor de estado x 4 de duas maneiras diferentes. P = 0,5 0,6 0,5 0,4 ;x 0 = 0,5 0,5
No exercício 4, use as Fórmulas (11) e (12) para calcular o vetor de estado x 4 de duas maneiras diferentes. P = 0 , 8 0 , 5 0 , 2 0 , 5 ;x 0 = 1 0
Considere um processo de Markov com matriz de transiçãoO que representa a entrada 0?