Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação – Método Matricial

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Enunciado

Identifique, esboce e exiba as coordenadas de um foco da cônica contida no plano x O y dada pela equação

x y + y = 2

Passo 1

Calculando o :

∆ = B 2 - 4 A C

∆ = 1 > 0

Logo, nossa cônica pode ser uma hipérbole ou um par de retas concorrentes certo??

Pra eliminar o termo misto, temos que fazer uma rotação em um ângulo θ dado por

t g 2 θ = B C - A

Como C = A = 0 , o nosso θ vale 45 ° = π 4   r a d .

Usando as relações de mudança de coordenada dadas por

x = u . cos ⁡ θ - v . sen ⁡ θ

y = u . sen ⁡ θ + v . cos ⁡ θ

Vamos ter o sistema

x = 1 2 ( u - v ) y = 1 2 ( u + v )

Passo 2

Beleza, a gente tem x e y em função de u e v . Agora a gente vai substituir isso lá na equação do enunciado demorou?

x y + y = 2

1 2 ( u - v ) 1 2 ( u + v ) + 1 2 ( u + v ) = 2

1 2 ( u ² - v ² ) + 1 2 ( u + v ) = 2

Racionalizando:

1 2 ( u ² - v ² ) + 2 2 ( u + v ) = 2

Opa agora bora passar o 2 pro outro lado multiplicando

( u ² - v ² ) + 2 ( u + v ) = 4

( u 2 + 2 u ) - ( v 2 - 2 v ) = 4

Agora vamos completar quadrados

u 2 + 2 u + 1 2 - v 2 - 2 v + 1 2 = 4

(Repara que a gente acrescentou + 1 2 e - 1 2 do mesmo lado da igualdade, por isso não precisamos “compensar” do outro lado)

Então temos

u + 1 2 2 - v - 1 2 2 = 4

u + 1 2 2 4 - v - 1 2 2 4 = 1

Boa, isso nos dá uma hipérbole trasladada com parâmetros a = b = 2 e c = 2 2 .

Os focos dela em u O v são F = ± 2 2 - 1 2 ,   1 2 e então temos que um foco em x O y é F 1 = 3 2 ,   1 2

O esboço da cônica no plano x O y é

Resposta

Hipérbole.

F 1 = 3 2 ,   1 2

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