Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação – Método Matricial

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Enunciado

Considere o plano com o sistema cartesiano canônico x y e faça uma rotação de um ângulo θ = π 3 obtendo um novo sistema x ' y ' . Seja P um ponto do plano.

a) Se P = ( 2 ,   2 ) no sistema x y , encontre as coordenadas de P no sistema x ' y ' .

b) Transforme a equação x 2 + y 2 = 4 para o sistema x ' y ' .

Passo 1

Vimos que a relação entre o sistema x O y e o sistema x ' O y ' pode ser dada por

Então, sabendo θ , vamos utilizer essa relação para resolver os dois itens.

Passo 2

a) Substituindo o ponto P , s e n θ e cos ⁡ θ na relação do passo 1, temos:

2 = x ' 2 - 3 y ' 2 2 = 3 x ' 2 + y ' 2  

Resolvendo esse sistema, encontramos que x ' = 3 + 1 e y ' = - 3 + 1 .

Então o ponto P ' (ponto P no sistema x ' O y ' ) é P ' = ( 3 + 1 ,   - 3 + 1 ) .

Passo 3

b) Temos que

x = x ' 2 - 3 y ' 2 y = 3 x ' 2 + y ' 2  

Basta substituirmos essa relações de x e y em x 2 + y 2 = 4 para obtermos essa equação no sistema x ' O y ' . Assim:

x 2 + y 2 = 4

x ' 2 - 3 y ' 2 2 + 3 x ' 2 + y ' 2 2 = 4

Resposta

a) P ' = ( 3 + 1 ,   - 3 + 1 )

b) x ' 2 - 3 y ' 2 2 + 3 x ' 2 + y ' 2 2 = 4

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