Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação – Método Matricial

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Enunciado

Dadas as equações de cônicas abaixo, determine seus coeficientes na equação geral.

a) x 2 - 4 x y + 2 y 2 = 0

b) x 2 - 2 x y + y 2 - 2 x + 1 = 0

c) x 2 - y 2 + 4 = 0

d) x 2 36 + y 2 4 = 7

e) x y + y 2 = - x 2 + 4 x

Passo 1

Vimos que a equação geral de uma cônica é dada no formato:

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0

O que precisamos fazer nesse exercício é dar os coeficientes A , B , C ... De acordo com as equações dadas. Vamo lá!!

Passo 2

a) Nossa equação já está na forma geral, agora é só acharmos os coeficientes.

O A vai ser o coeficiente que multiplica x ² , logo, A = 1

B multiplica x y : B = - 4

C multiplica y ² : C = 2

Opa, esses são os únicos coeficientes dessa equação, então podemos dizer que D = E = F = 0 fechou?

Passo 3

b) Agora temos que:

A = 1 B = - 2 C = 1 D = - 2 E = 0 F = 1

Passo 4

c) Dessa vez:

A = 1 B = 0 C = - 1 D = 0 E = 0 F = 4

Passo 5

d) Vamos transformar x 2 36 + y 2 4 = 7 na equação geral de uma cônica passando o 7 pro outro lado:

x 2 36 + y 2 4 - 7 = 0

Fechou, agora sim podemos falar que:

A = 1 36 B = 0 C = 1 4 D = 0 E = 0 F = - 7

Passo 6

e) Vamos transformar x y + y 2 = - x 2 + 4 x na equação geral:

x y + y 2 + x 2 - 4 x = 0

Organizando os termos pra facilitar nossa vida:

x 2 + x y + y 2 - 4 x = 0

Daí temos que:

A = 1 B = 1 C = 1 D = - 4 E = 0 F = 0

Resposta

a) A = 1 B = - 4 C = 2 D = 0 E = 0 F = 0

b) A = 1 B = - 2 C = 1 D = - 2 E = 0 F = 1

c) A = 1 B = 0 C = - 1 D = 0 E = 0 F = 4

d) A = 1 36 B = 0 C = 1 4 D = 0 E = 0 F = - 7

e) A = 1 B = 1 C = 1 D = - 4 E = 0 F = 0

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