Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação – Método Matricial

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Enunciado

Reduza, por uma rotação dos eixos coordenados, a equação

x 2 + 2 x y + y 2 - x + y + 1 = 0

Determine o foco, o vértice e a diretriz da cônica nas coordenadas x , y .

Passo 1

Encontrando o ângulo de rotação

Como temos um termo misto + 2 x y , vamos ter que fazer uma rotação certo?

Vamos usar a relação pra descobrir o ângulo:

t g 2 θ = B C - A

No nosso caso, B = 2 , C = 1 e A = 1

Opa, mas como A = C , o nosso ângulo vai ser 45 ° , lembra??

Boaa, primeiro passo realizado!!

Passo 2

Convertendo o sistema x O y para u O v

Vamos converter o sistema x O y (equação do enunciado) no sistema u O v (cônica rotacionada) usando a relação:

x = u . c o s θ - v . s e n θ y = u . s e n θ + v . c o s θ

Sabendo que s e n θ = c o s θ = 2 2 = 1 2 :

x = 1 2 ( u - v ) y = 1 2 ( u + v )   ( I )

Agora precisamos achar os coeficientes A ' e C ' da nossa cônica.

Passo 3

Encontrando os coeficientes A ' e C ' , análogos a A e C

Os novos coeficientes A ' e C ' vão ser dados pelo sistema:

A ' + C ' = A + C A ' - C ' = B s e n ( 2 θ )

Na nossa equação original, A = C = 1 , então A + C = 2 .

Além disso, B s e n ( 2 θ ) = 2 s e n 90 ° = 2 1 = 2

Então:

A ' + C ' = 2 A ' - C ' = 2

Somando as duas equações, temos

2 A ' = 4

A ' = 2

Substituindo na primeira linha:

C ' = 0

Ou seja, não teremos o termo v ² na nossa nova equação (pois C ' = 0 ), enquanto o termo u ² será multiplicado por A ' = 2 .

Passo 4

Encontrando os termos lineares

Agora, vamos substituir as relações do sistema ( I ) na parte linear da equação do enunciado.

- x + y = - 1 2 u - v + 1 2 ( u + v )

- u 2 + v 2 + u 2 + v 2

2 v 2

2 v

Ou seeeja, vamos substituir 2 v no lugar dos termos - x + y da equação original :D

Passo 5

Escrevendo a nova equação

Com os coeficientes A ' , C ' e o termo linear, vamos substituir na equação (lembrando que mantemos o termo independente 1 ):

A ' . u 2 + C ' . v 2 + 2 v + 1 = 0

2 u 2 + 2 v + 1 = 0

Ajustando a equação:

2 u 2 = - 2 v - 1

u 2 = - 2 v - 1 2

u 2 = - 2 2 v + 2 2

Ou seja, temos uma parábola :)

Seu vértice no sistema u O v é V = 0 ,   - 2 2 , seu parâmetro é 2 p = 2 4 → p = 2 8 , e logo, seu foco é F = 0 ,   - 5 2 8 .

Passo 6

Usando as equações do sistema ( I ) pra transformar o foco e vértice pro sistema x O y :

F ' :   x = 1 2 0 - - 5 2 8 = 5 8 y = 1 2 0 - 5 2 8 = - 5 8

V ' :   x = 1 2 0 - - 2 2 = 1 2 y = 1 2 0 - 2 2 = - 1 2

Então F ' = 5 8 ,   - 5 8 no sistema x O y e V ' = 1 2 , - 1 2 .

Resposta

u 2 = - 2 2 v + 2 2

F ' = 5 8 ,   - 5 8 e V ' = 1 2 , - 1 2

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