Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação

UFPE, Geometria Analítica, 3º EE - 2018.2, Questão 1

Identifique a cônica abaixo e determine as coordenadas de um vértice no sistema x O y .

x 2 + 2 x y + y 2 - 18 x + 14 y - 79 = 0

Passo 1

Primeira coisa que a gente tem que fazer é identificar qual é a cônica que estamos tratando. Isso a gente faz pelo Δ , certo?

Δ = B 2 - 4 A C

Δ = 2 2 - 4 1 1

Δ = 0

O invariante igual a zero indica que a cônica é uma parábola ou um par de retas paralelas. Bom, vamos usar aquela teoria que conhecemos dos invariantes! Se a cônica está rodada de um ângulo θ , podemos relacionar os coeficientes da cônica “retinha” com as da rodada assim:

A ' + C ' = A + C

A ' - C ' = B s e n 2 θ

Bom, vamos ver qual é o ângulo então. A gente consegue achar a tangente dele assim, ó:

t g 2 θ = B A - C = 2 1 - 1

Epa epa epa! Pode dividir por 0 ? Não pode não, isso aí é indeterminação!!! Mas se a tangente é indeterminada, só pode ser um ângulo:

2 θ = 90 °

θ = 45 °

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pronto, já podemos ir pra substituir lá!

A ' + C ' = 2

A ' - C ' = 2 s e n 90 ° = 2

Então A ' = 2 e C ' = 0 . Como a gente sabe lá da teoria de rotação, já que ela foi de 45 ° :

x = 2 2 u - v y = 2 2 ( u + v )

Daí,

- 18 x + 14 y = 2 - 2 u + 16 v

Então a nossa equação desrotacionada vai ficar:

A ' u 2 + C ' v 2 + 2 - 2 u + 16 v - 79 = 0

2 u 2 - 2 2 u + 16 2 v - 79 = 0

Passo 3

Agora falta fazer a translação! Pra isso a gente completa quadrados.

2 u 2 - 2 2 u + 16 2 v - 79 = 0

2 u 2 - 2 u + 16 2 v - 79 = 0

2 u 2 - 2 u + 1 2 + 16 2 v - 80 = 0

2 u - 2 2 2 + 16 2 v - 5 2 = 0

v - 5 2 2 = - u - 2 2 2 8 2

Que é a equação de uma parábola! O seu vértice é o ponto V :

V = 2 2 , 5 2 2

Pra achar esses pontos no sistema x O y é só a gente aplicar na rotação!

x = 2 2 2 2 - 5 2 2 x = - 2 y = 2 2 2 2 + 5 2 2 y = 3

V = - 2 ,   3

Resposta

A cônica é uma parábola, com vértice no ponto V = ( - 2 ,   3 ) .

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