Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação

UFPE, Geometria Analítica, 3º EE - 2019.1, Questão 1

Identifique a cônica abaixo e determine as coordenadas de um vértice no sistema x O y

16 x 2 + 8 x y + y 2 - 34 x - 4 y + 17 2 = 0

Passo 1

A primeira coisa que a gente tem que fazer é determinar qual é o tipo de cônica. Vamos fazer isso lá pelo nosso invariante!

Δ = B 2 - 4 A C

Δ = 8 2 - 4 16 1 = 0

Se deu 0 , já sabemos que é uma parábola ou um dos seus casos degenerados! Agora vamos ver qual é o ângulo de rotação da cônica.

t g 2 θ = B A - C = 8 16 - 1

t g 2 θ = 8 15

Vamos descobrir s e n θ e c o s θ , porque vamos precisar logo à frente! Aí é brincadeira com trigonometria.

cos 2 2 θ = 1 1 + t g 2 2 θ = 1 1 + 64 225 = 225 289

c o s 2 θ = 15 17 = 2 cos 2 θ - 1

cos 2 θ = 1 + 15 17 2

c o s θ = 4 17

Da relação fundamental:

s e n 2 θ = 1 - 16 17

s e n θ = 1 17

s e n 2 θ = 8 17

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos pras equações de rotação! Os novos coeficientes dos termos quadráticos a gente vai calcular pelos invariantes.

A ' + C ' = A + C = 17 A ' - C ' = B s e n 2 θ = 17

Daqui A ' = 17 e C ' = 0 .

Essas equações aqui vão resolver a parte linear.

x = 1 17 ( 4 u - v ) y = 1 17 ( u + 4 v )

Daqui,

x - 4 y = 1 17 - 17 v

x - 4 y = - 17 v

Passo 3

Pronto, agora é só a gente substituir tudo na equação da cônica!

17 u 2 + 34 17 v + 17 2 = 0

Simplificando,

u 2 + 2 17 v + 17 = 0

Tem um termo quadrático e outro linear, então parece o que? Uma parábola!

2 17 v + 17 2 17 = - u 2

v + 17 2 = - u 2 2 17

Isso é uma parábola com vértice 0 ,   - 17 2 no sistema u O v .

Pra achar em x O y , é só a gente usar a equação de rotação:

x = 1 17 0 + 17 2 = 1 2

y = 1 17 0 - 4 17 2 = - 2

No eixo x O y , então, o vértice é V = 1 2 , - 2 .

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