Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação

UFPE, Geometria Analítica, 3º EE - 2018.2, Questão 1

Identifique a cônica abaixo e determine as coordenadas de um vértice no sistema Equation .

Equation

Passo 1

Primeira coisa que a gente tem que fazer é identificar qual é a cônica que estamos tratando. Isso a gente faz pelo Equation , certo?

Equation

Equation

Equation

O invariante igual a zero indica que a cônica é uma parábola ou um par de retas paralelas. Bom, vamos usar aquela teoria que conhecemos dos invariantes! Se a cônica está rodada de um ângulo Equation , podemos relacionar os coeficientes da cônica “retinha” com as da rodada assim:

Equation

Equation

Bom, vamos ver qual é o ângulo então. A gente consegue achar a tangente dele assim, ó:

Equation

Epa epa epa! Pode dividir por Equation ? Não pode não, isso aí é indeterminação!!! Mas se a tangente é indeterminada, só pode ser um ângulo:

Equation

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pronto, já podemos ir pra substituir lá!

Equation

Equation

Então Equation e Equation . Como a gente sabe lá da teoria de rotação, já que ela foi de Equation :

Equation

Daí,

Equation

Então a nossa equação desrotacionada vai ficar:

Equation

Equation

Passo 3

Agora falta fazer a translação! Pra isso a gente completa quadrados.

Equation

Equation

Equation

Equation

Equation

Que é a equação de uma parábola! O seu vértice é o ponto Equation :

Equation

Pra achar esses pontos no sistema Equation é só a gente aplicar na rotação!

Equation

Equation

Resposta

A cônica é uma parábola, com vértice no ponto Equation .

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