Exercícios Resolvidos de Cônicas com Rotação

UFPE, Geometria Analítica, 3º EE - 2019.1, Questão 1

Identifique a cônica abaixo e determine as coordenadas de um vértice no sistema Equation

Equation

Passo 1

A primeira coisa que a gente tem que fazer é determinar qual é o tipo de cônica. Vamos fazer isso lá pelo nosso invariante!

Equation

Equation

Se deu Equation , já sabemos que é uma parábola ou um dos seus casos degenerados! Agora vamos ver qual é o ângulo de rotação da cônica.

Equation

Equation

Vamos descobrir Equation e Equation , porque vamos precisar logo à frente! Aí é brincadeira com trigonometria.

Equation

Equation

Equation

Equation

Da relação fundamental:

Equation

Equation

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos pras equações de rotação! Os novos coeficientes dos termos quadráticos a gente vai calcular pelos invariantes.

Equation

Daqui Equation e Equation .

Essas equações aqui vão resolver a parte linear.

Equation

Daqui,

Equation

Equation

Passo 3

Pronto, agora é só a gente substituir tudo na equação da cônica!

Equation

Simplificando,

Equation

Tem um termo quadrático e outro linear, então parece o que? Uma parábola!

Equation

Equation

Isso é uma parábola com vértice Equation no sistema Equation .

Pra achar em Equation , é só a gente usar a equação de rotação:

Equation

Equation

No eixo Equation , então, o vértice é Equation .

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