Exercícios Resolvidos de Coordenadas de um Vetor em uma Base Ortogonal

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Enunciado

Em uma base ortonormal são dados os vetores u → = ( - 1 ,   0 ,   3 ) e v → = ( 0 ,   1 ,   4 ) . Determine as coordenadas dos vetores x → paralelo a u → e y → ortogonal a u → de modo que x → + y → = v → .

Passo 1

Já que a gente não tem muitas informações, vamos pegar vetores x → e y → genericões:

x → = a , b , c

y → = m , n , p

Agora vamos usar as informações: primeiro ele disse que x → é paralelo a u → . Isso quer dizer que x → é um múltiplo do vetor u → , tá ligado?

x → = λ u →

a , b , c = λ - 1,0 , 3

Daqui,

a = - λ

b = 0

c = 3 λ

Então x → = ( - λ , 0 ,   3 λ ) .

Passo 2

Beleza, agora vamos olhar pra y → . A questão diz que ele é ortogonal a u → . Isso quer dizer o que? Isso aí, que o produto escalar deles é igual a zero!

y → ⋅ u → = 0

m , n , p ⋅ - 1 ,   0 ,   3 = 0

- m + 3 p = 0

Então y → = ( 3 p ,   n ,   p ) .

Passo 3

A última informação é que a soma de x → e y → é igual ao vetor v → . Bora usar!

x → + y → = v → = 0 ,   1 ,   4

- λ ,   0 ,   3 λ + 3 p ,   n ,   p = ( 0 ,   1 ,   4 )

- λ + 3 p ,   n ,   3 λ + p = ( 0 ,   1 ,   4 )

Daqui a gente tem um sisteminha!

- λ + 3 p = 0   3 λ + p = 4 n = 1

Da primeira equação, λ = 3 p , e substituindo na segunda:

3 3 p + p = 4

p = 2 5

Daí,

λ = 6 5

E na última já tá pronto, n = 1 .

Então show, encontramos tudo que precisávamos!

x → = - 6 5 ,   0 , 18 5

y → = 6 5 ,   1 , 2 5

Resposta

x → = - 6 5 ,   0 , 18 5

y → = 6 5 ,   1 , 2 5

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