Exercícios Resolvidos de Coordenadas de um Vetor em uma Base Ortogonal

Ver Teoria

Enunciado

Encontre uma base ortonormal β que contenha dois vetores paralelos a ( 1 ,   1 ,   1 ) e ( 1 ,   - 1 ,   0 ) . Obtida a base β , determine as coordenadas do vetor ( 1 ,   2 ,   3 ) em dita base.

Passo 1

Primeiro vamos encontrar a base ortogonal para então normalizarmos beleza??

Para que a base seja ortogonal, os dois primeiros vetores podem ser ( 1 ,   1 ,   1 ) e ( 1 ,   - 1 ,   0 ) mesmo, afinal, eles são ortogonais entre si. Já o terceiro vetor deve ser ortogonal a ( 1 ,   1 ,   1 ) e ( 1 ,   - 1 ,   0 ) .

Como podemos encontrar um vetor ortogonal a esses dois? Isso mesmoo, vamos calcular o produto vetorial entre eles:

1 ,   1 ,   1 ∧ 1 ,   - 1 ,   0 = i ^ j ^ k ^ 1 1 1 1 - 1 0

1 ,   1 ,   1 ∧ 1 ,   - 1 ,   0 = 1 i ^ + 1 j ^ - 2 k ^

1 ,   1 ,   1 ∧ 1 ,   - 1 ,   0 = ( 1 ,   1 ,   - 2 )

Legal, então uma base ortogonal é dada por α = 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   1 ,   - 2 .

Agora vamos normalizar essa base pra ela ficar ortonormal, pra isso, basta dividirmos cada vetor por sua respectiva norma ;)

Passo 2

Vamos encontrar a norma de cada vetor pra depois dividirmos belê?

1 ,   1 ,   1 = 1 + 1 + 1 = 3

1 ,   - 1 ,   0 = 1 + 1 = 2

1 ,   1 ,   - 2 = 1 + 1 + 4 = 6

Então, uma base ortonormal que satisfaz as nossas condições é

β = 1 3 , 1 3 , 1 3 ,   1 2 ,   - 1 2 ,   0 ,   1 6 , 1 6 ,   - 2 6

Obs 1: repare que, de fato, os dois primeiros vetores são paralelos aos vetores do enunciado, a diferença é que eles possuem norma 1, pois queríamos uma base ortonormal.

Obs 2: essa base é apenas uma das possibilidades que satisfaz as condições, mas poderíamos por exemplo ter escolhido os dois primeiros vetores sendo paralelos a ( 1 ,   1 ,   1 ) e ( 1 ,   - 1 ,   0 ) (mesma direção) mas em outro sentido. Ou na hora de calcular o produto vetorial, poderíamos ter invertido da ordem dos vetores (o resultado só estaria, também, em outro sentido).

Desde que a base final contenha 3 vetores ortogonais e de norma 1, ta tudo certo :)

Passo 3

Agora vamos encontrar as coordenadas do vetor ( 1 ,   2 ,   3 ) na base β usando aquela formulazinha:

α i = v ,   v i ⟨ v i ,   v i ⟩

Como a base é ortonormal, ⟨ v i ,   v i ⟩ sempre vai ser 1, então podemos reduzir a fórmula para

α i = v ,   v i

A primeira coordenada de ( 1 ,   2 ,   3 ) na base β vai ser:

α 1 = ( 1 ,   2 ,   3 ) ,   1 3 , 1 3 , 1 3

α 1 = 1 3 + 2 3 + 3 3

α 1 = 6 3

Segunda coordenada:

α 2 = ( 1 ,   2 ,   3 ) ,   1 2 ,   - 1 2 ,   0

α 2 = 1 2 - 2 2

α 2 = - 1 2

Terceira coordenada:

α 3 = ( 1 ,   2 ,   3 ) ,   1 6 , 1 6 ,   - 2 6

α 3 = 1 6 + 2 6 - 6 6

α 3 = - 3 6

Então, as coordenadas de ( 1 ,   2 ,   3 ) na base β são:

6 3 ,   - 1 2 ,   - 3 6 β

Resposta

β = 1 3 , 1 3 , 1 3 ,   1 2 ,   - 1 2 ,   0 ,   1 6 , 1 6 ,   - 2 6

(uma das possíveis respostas)

6 3 ,   - 1 2 ,   - 3 6 β

Exercícios de Livros Relacionados

12. É dada uma base ortonormal com o produto interno euclidiano. Use o teorema 6.3.2b para encontrar o vetor de coordenadas de w → em relação a essa base.(a) w → = 3,7 ,u → 1 = 1 2 , - 1 2 , u → 2 = 1
11. (a) Mostre que os vetores v → 1 = 1 , - 2,3 , - 4 ,v → 2 = 2,1 , - 4 , - 3 ,v → 3 = - 3,4 , 1 , - 2 ,v → 4 = 4,3 , 2,1 Formam uma base ortogonal de R 4 com produto interno euclidiano.(b) Use o Teo
13. É dada uma base ortonormal com o produto interno euclidiano. Use o teorema 6.3.2b para encontrar o vetor de coordnadas de w → em relação a essa base.(a) w → = 2,0 , 5 , u → 1 = 2 3 , 1 3 , 2 3 , u
8. Verifique que o conjunto de vetores 1,0 , 0,1 é ortogonal com o produto interno u → , v → = 4 u 1 v 1 + u 2 v 2 de R 2 e converta-o num conjunto ortonormal normalizando seus vetores.
9. Verifique que os vetores: v → 1 = - 3 5 , 4 5 , 0 , v → 2 = 4 5 , 3 5 , 0 , v → 3 = 0,0 , 1 Formam uma base ortonormal de R 3 com o produto interno euclidiano. Depois, em cada parte, use o Teorema