Exercícios Resolvidos de Coordenadas de um Vetor em uma Base Ortogonal

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Enunciado

Dada a base β = 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   - 2 ,   1 , determine as coordenadas do vetor 123 ,   217 ,   15 na base β .

Passo 1

O que temos sobre a base β ?

Se calcularmos o produto interno entre os vetores dois a dois, descobrimos que sempre vai dar 0, logo, essa base é ortogonal beleza?

Vimos que pra calcular as coordenadas de um vetor em uma base ortogonal, basta utilizarmos:

α i = v ,   v i ⟨ v i ,   v i ⟩

Onde α i é a i-ésima coordenada do vetor na base β .

Então bora lá usar essa fórmula :)

Passo 2

Para a primeira coordenada, temos α 1 = 123 ,   217 ,   15 ,   ( 1 ,   1 ,   1 ) ⟨ 1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   1 ,   1 ⟩

α 1 = 123 + 217 + 15 1 + 1 + 1

α 1 = 355 3

Boaa, já temos a primeira coordenada, agora vamos calcular as próximas ok?

Passo 3

Para a segunda coordenada: α 2 = 123 ,   217 ,   15 ,   ( 1 ,   0 ,   - 1 ) ⟨ 1 ,   0 ,   - 1 ,   1 ,   0 ,   - 1 ⟩

α 2 = 123 - 15 1 + 1

α 2 = 108 2 = 54

Já para a terceira coordenada: α 3 = 123 ,   217 ,   15 ,   ( 1 ,   - 2 ,   1 ) ⟨ 1 ,   - 2 ,   1 ,   1 ,   - 2 ,   1 ⟩

α 3 = 123 - 434 + 15 1 + 4 + 1

α 3 = - 296 6 = - 148 3

Belezaa, achamos nossas 3 coordenadas, então, o vetor dado escrito na base β é:

355 3 ,   54 ,   - 148 3 β

Resposta

355 3 ,   54 ,   - 148 3 β

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