Exercícios Resolvidos de Coordenadas de um Vetor em uma Base Ortogonal

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Enunciado

Considere uma base ortonormal E = ( e 1 → ,   e 2 → ,   e 3 → ) e os vetores u → , v → e w → = ( 1 ,   0 ,   1 ) E .

a) Se A n g u → ,   v → = 60 ° , u → é unitário e u → ∧ u → - 2 v → = 3 , mostre que v → = 3 .

b) Se, além disso, v → ⊥ w → e v → . e 2 → = 1 , determine as coordenadas de v → na base E .

Passo 1

a) Pelas propriedades de produto vetorial, sabemos que

u → ∧ u → - 2 v → = u → ∧ u → - 2 u → ∧ v →

Como o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é 0 → , temos que

u → ∧ u → - 2 v → = - 2 u → ∧ v →

Então

3 = - 2 u → ∧ v →

Da fórmula geral de produto vetorial:

3 = 2 u → . v → . sen ⁡ 60 °

Como u → é unitário, u → = 1

3 = 2 . v → . 3 2

3 = 3 v →

v → = 3 3

Racionalizando:

v → = 3 3 3 = 3

Passo 2

b) Vamos supor que v → = ( a ,   b ,   c ) . Como v → ⊥ w → , teremos que a ,   b ,   c . 1 ,   0 ,   1 = 0 . Fazendo esse produto interno temos que:

1 a + 0 b + 1 c = 0

a + c = 0

c = - a

Além disso, o enunciado nos diz que E é uma base ortonormal, então podemos supor E = { 1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   1 ,   0 ,   0 ,   0 ,   1 } . Dessa forma, e 2 → = ( 0 ,   1 ,   0 ) . Do enunciado temos que v → . e 2 → = 1 , logo:

a ,   b ,   c . 0 ,   1 ,   0 = 1

b = 1

Então, o vetor v → é da forma ( a ,   1 ,   - a ) , certo?

Passo 3

No item a, provamos que v → = 3 , então, pela fórmula do módulo de um vetor:

a 2 + 1 2 + ( - a ) ² = 3

2 a 2 + 1 = 3

a 2 = 1

a = ± 1

Logo, o vetor v → pode ser v → ' = ( 1 ,   1 ,   - 1 ) ou v → ' ' = ( - 1 ,   1 ,   1 ) .

Resposta

a) Demonstração.

b) v → ' = ( 1 ,   1 ,   - 1 ) ou v → ' ' = ( - 1 ,   1 ,   1 )

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