Exercícios Resolvidos de Coordenadas de um Vetor em uma Base Ortogonal

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Enunciado

Sejam v 1 = 0 ,   1 ,   0 , v 2 = - 4 5 ,   0 , 3 5 , v 3 = 3 5 ,   0 , 4 5 .

Obtenha as coordenadas de u = 1 ,   1 ,   1 em relação à base ortonormal S = v 1 ,   v 2 ,   v 3 .

Passo 1

Já vimos que pra calcular as coordenadas de um vetor em uma base ortogonal, usamos:

α i = v ,   v i ⟨ v i ,   v i ⟩

Mas opa, a base do exercício é ortonormal!!

O que isso vai mudar na nossa vida?

Simples, o produto interno ⟨ v i ,   v i ⟩ sempre vai ser 1, afinal, todos os vetores de S têm norma 1 não é?

Então a fórmula que vamos usar vai ser apenas:

α i = v ,   v i

Vamo lá!

Passo 2

Para a primeira coordenada: α 1 = u ,   v 1

α 1 = 1 ,   1 ,   1 ,   0 ,   1 ,   0

α 1 = 1

Para a segunda coordenada:

α 2 = 1 ,   1 ,   1 ,   - 4 5 ,   0 , 3 5

α 2 = - 4 5 + 3 5 = - 1 5

Por fim, para a terceira coordenada:

α 3 = 1 ,   1 ,   1 ,   3 5 ,   0 , 4 5

α 3 = 3 5 + 4 5 = 7 5

Aeee, então as coordenadas do vetor 1 ,   1 ,   1 na base S são:

1 ,   - 1 5 , 7 5 S

Resposta

1 ,   - 1 5 , 7 5 S

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