Exercícios Resolvidos de Coordenadas de um Vetor em uma Base Ortogonal

Ver Teoria

Enunciado

Considere a base ortogonal β = 1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 , 0,0 , - 1 , 0,1 , 0 , - 1,0 , 1,1 , - 4,1 , 1 , 1 , - 1,0 , - 1,1 . A quinta coordenada do vetor v → = 0 , 5,15,5 , - 10 com relação à base β é:

(Dica: use a ortogonalidade da base para evitar contas!)

( a ) 3

( b ) - 5

( c ) 0

( d ) - 3

Passo 1

Como o enunciado disse, a menos que quera resolver um sistema de 5 equações e 5 variáveis vamos usar a ortogonalidade da base ao nosso favor!

Sabemos que v → pode ser escrito como combinação da base β :

v → β = α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5

Onde:

v = α 1 1,1 , 1,1 , 1 + α 2 1,0 , 0,0 , - 1 + α 3 0,1 , 0 , - 1,0 + α 4 1,1 , - 4,1 , 1 + α 5 1 , - 1,0 , - 1,1

Como queremos a quinta coordenada α 5 , basta fazermos o produto interno com o quinto vetor da base β ! Como a base é ortogonal, todos os demais vetores de β vão ser levados no zero, de modo que ficamos com:

v → , 1 , - 1,0 , - 1,1 = α 5 1 , - 1,0 , - 1,1 , 1 , - 1,0 , - 1,1

Como tínhamos visto na teoria. Resolvendo os produtos internos:

0,5 , 15,5 , - 10 , 1 , - 1,0 , - 1,1 = 0 - 5 + 0 - 5 - 10 = - 20

1 , - 1,0 , - 1,1 , 1 , - 1,0 , - 1,1 = 1 + 1 + 0 + 1 + 1 = 4

- 20 = α 5 ∙ 4

α 5 = - 5

Resposta

Letra ( b )

Exercícios de Livros Relacionados

12. É dada uma base ortonormal com o produto interno euclidiano. Use o teorema 6.3.2b para encontrar o vetor de coordenadas de w → em relação a essa base.(a) w → = 3,7 ,u → 1 = 1 2 , - 1 2 , u → 2 = 1
11. (a) Mostre que os vetores v → 1 = 1 , - 2,3 , - 4 ,v → 2 = 2,1 , - 4 , - 3 ,v → 3 = - 3,4 , 1 , - 2 ,v → 4 = 4,3 , 2,1 Formam uma base ortogonal de R 4 com produto interno euclidiano.(b) Use o Teo
13. É dada uma base ortonormal com o produto interno euclidiano. Use o teorema 6.3.2b para encontrar o vetor de coordnadas de w → em relação a essa base.(a) w → = 2,0 , 5 , u → 1 = 2 3 , 1 3 , 2 3 , u
8. Verifique que o conjunto de vetores 1,0 , 0,1 é ortogonal com o produto interno u → , v → = 4 u 1 v 1 + u 2 v 2 de R 2 e converta-o num conjunto ortonormal normalizando seus vetores.
9. Verifique que os vetores: v → 1 = - 3 5 , 4 5 , 0 , v → 2 = 4 5 , 3 5 , 0 , v → 3 = 0,0 , 1 Formam uma base ortonormal de R 3 com o produto interno euclidiano. Depois, em cada parte, use o Teorema