Exercícios Resolvidos de Coordenadas de um Vetor em uma Base Ortogonal

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Enunciado

O paralelepípedo da figura é um cubo de aresta a .

a) Mostre que β = 2 2 a A C → ,   2 2 a B D → , 1 a C G → é uma base ortonormal.

b) Escreva B H → na base β .

Passo 1

a) Para que esses vetores formem uma base ortonormal, devem ter módulo 1 e serem ortogonais entre si.

Primeiro vamos analisar A C → e B D → . Esses vetores são as diagonais da base do cubo que tem lado a . Como são as diagonais do quadrado A B C D , são ortogonais entre si. Além disso, seu tamanho vale 2 a .

Agora, se formos calcular o módulo dos dois primeiros vetores de β teremos:

2 2 a A C → = 2 2 a A C → = 2 2 a 2 a = 1

2 2 a B D → = 2 2 a B D → = 2 2 a 2 a = 1

Boaa! Agora só falta analisarmos o terceiro vetor!!

Passo 2

O vetor C G → é uma aresta do cubo e está perpendicular à base dele, ou seja, já temos que é perpendicular aos 2 vetores anteriores :D

Essa aresta mede a , logo, o módulo do vetor dado em β vai ser

1 a C G → = 1 a a = 1

Agora simm, temos que os 3 vetores são ortogonais entre si e todos possuem módulo 1 :) Logo, β é uma base ortonormal!!

Passo 3

b) Nosso objetivo aqui é escrever o vetor B H → em função dos vetores da base β .

Temos que

B H → = B F → + F H →

Substituindo B F → e F H → pelos seus vetores congruentes:

B H → = C G → + B D →

Isso é a mesma coisa que

B H → = a 1 a C G → + 2 a 2 2 2 a B D →

(Repare que se cortarmos em cima e embaixo teremos a mesma equação anterior)

Logo, em função dos vetores de β :

B H → = 0 . 2 2 a A C → + 2 a 2 2 2 a B D → + a 1 a C G →

B H → = 0 ,   2 a 2 ,   a β

Resposta

a) Demonstração.

b) B H → = 0 ,   2 a 2 ,   a β

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