Exercícios Resolvidos de Coordenadas de um Vetor em uma Base Ortogonal

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Enunciado

Sejam V , , um espaço vetorial com produto interno, e β = v 1 , v 2 , v 3 uma base ortonormal de V . Seja u ∈ V um vetor tal que u ⊥ v 2 , 3 u , 2 v 1 = 6 e u ⊥ v 2 + v 3 .

Aviso: Você não pode supor que V = R 3 e que β é a base canônica.

a Determine u β

b Se v é tal que v β = 2 - 1 0 , calcule u , v

Passo 1

a Como a base β é ortonormal, temos que:

u = α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3

u β = α 1 , α 2 , α 3

α 1 = u , v 1

α 2 = u , v 2

α 3 = u , v 3

Beleza, agora vamos ver que informações o enunciado dá pra gente:

  u ⊥ v 2

u , v 2 = 0

3 u , 2 v 1 = 6

6 u , v 1 = 6

u , v 1 = 1

u ⊥ v 2 + v 3

u , v 2 + v 3 = 0

u , v 2 + u , v 3 = 0

u , v 3 = 0

Beleza, se substituirmos esses resultados vamos ter que:

α 1 = u , v 1 = 1

α 2 = u , v 2 = 0

α 3 = u , v 3 = 0

u β = 1,0 , 0

Passo 2

b Nos é dito que:

v β = 2 , - 1,0

Então, o vetor v na base canônica é:

v = 2 v 1 - v 2

Logo,

u , v = u , 2 v 1 - v 2 = 2 u , v 1 - u , v 2

Pegando os valores encontrados no Passo 1, temos que:

u , v = 2 - 0 = 2

Resposta

a u β = 1,0 , 0

b u , v = 2

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