Exercícios Resolvidos de Coordenadas de um Vetor em uma Base Ortogonal

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Enunciado

Em um tetraedro A B C D considere os vetores u → = A B → , v → = A C → e w → = D B → . Determine as coordenadas dos pontos A , B , C e D no sistema de coordenadas construído com a base β = ( u → ,   v → ,   w → ) e origem D .

Passo 1

O problema quer as coordenadas na base β com origem D . Então vamos visualizar a figura de outra maneira, o que a gente tem é basicamente algo assim

Logo de cara, a gente já consegue saber que D = ( 0 ,   0 ,   0 ) β (já que ele é a própria origem) e B = ( 0 ,   0 ,   1 ) β . Então vamos usar esses dois pontos para descobrirmos A e C .

Passo 2

Vamos brincar com os vetores. Como queremos os pontos A e C na origem D , vamos encontrar D A → e D C → em função dos vetores da base β .

Sabemos que

D A → = D B → + B A →

Escrito na base β , isso é equivalente a

D A → = - 1 u → + 0 v → + 1 w →

Logo A = ( - 1 ,   0 ,   1 ) β

Agora para D C → :

D C → = D A → + A C →

D C → = - 1 u → + 1 v → + 1 w →

Então, C = ( - 1 ,   1 ,   1 ) β

Resposta

A = ( - 1 ,   0 ,   1 ) β

B = ( 0 ,   0 ,   1 ) β

C = ( - 1 ,   1 ,   1 ) β

D = ( 0 ,   0 ,   0 ) β

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