Exercícios Resolvidos de Corpos Compostos

R. C. Hibbeler, Estática: Mecânica para Engenharia, 10º ed. SP: Prentice Hall, 2005, pp. 397-9.54

A barragem de gravidade é feita de concreto. Determine a localização ( x - , y - ) do centro de gravidade G para a parede.

Passo 1

Vamos começar separando as figuras que compõem a parede e numerá-las:

Agora vamos achar a área de cada uma dessas partes:

  • Parte 1: é um retângulo, então vamos ter que:
  • A 1 = 0,4 3,6 = 1,44   m 2

  • Parte 2: temos agora um quadrado, então:
  • A 2 = 3 3 = 9   m 2

  • Parte 3: é um triângulo, então:
  • A 3 = ( 0,6 ) ( 3 ) 2 = 0,9   m 2

  • Parte 4: temos outro triângulo:
  • A 4 = ( 1,8 ) ( 3 ) 2 = 2,7   m 2

    Não esqueça que a área dos dois triângulos é negativa, pois estas duas figuras não fazem parte da parede, só criamos ela para facilitar nossos cálculos. Então, a nossa tabela fica assim:

    A área total será a soma das quatro áreas:

    ∑ A = 1,44 + 9 - 0,9 - 2,7       →         ∑ A = 6,84   m 2

    Passo 2

    Agora vamos calcular as coordenadas x - e y - do centróide de cada parte que compõe nossa figura. Não se esqueça de que temos que calcular tudo com relação ao eixo que foi dado no enunciado!

  • Parte 1:
  • Então:

    x - = 3,6 2 = 1,8   m

    y - = 0,4 2 = 0,2   m

  • Parte 2:
  • Então:

    x - = 0,6 + 3 2 = 2,1   m

    y - = 0,4 + 3 2 = 1,9   m

    Para as próximas partes, não podemos esquecer como se calcula as coordenadas do centróide de um triângulo:

  • Parte 3:
  • Então:

    x - = 0,6 + 2,4 + 2 ( 0,6 ) 3 = 3,4   m

    y - = 0,4 + 3 3 = 1,4   m

  • Parte 4:
  • Então:

    x - = 0,6 + ( 1,8 ) 3 = 1,2   m

    y - = 0,4 + 2 ( 3 ) 3 = 2,4   m

    Vamos colocar isso na nossa tabela:

    Passo 3

    Agora vamos multiplicar cada área por sua respectiva coordenadas x - e y - :

  • Parte 1:
  • A 1 x - = 1,44 1,8         →           A 1 x - = 2,592   m 3

    A 1 y - = 1,44 0,2         →           A 1 y - = 0,288   m 3

  • Parte 2:
  • A 2 x - = 9 2,1         →           A 2 x - = 18,9   m 3

    A 2 y - = 9 1,9         →           A 2 y - = 17,1   m 3

  • Parte 3:
  • A 3 x - = - 0,9 3,4         →           A 3 x - = - 3,06   m 3

    A 3 y - = - 0,9 1,4         →           A 3 y - = - 1,26   m 3

  • Parte 4:

A 4 x - = - 2,7 1,2         →           A 4 x - = - 3,24   m 3

A 4 y - = - 2,7 2,4         →           A 4 y - = - 6,48   m 3

Então, a nossa tabela fica assim:

Agora vamos somar os valores que achamos:

∑ x - A = 2,592 + 18,9 - 3,06 - 3,24           →           ∑ x - A = 15,192   m 3

E:

∑ y - A = 0,288 + 17,1 - 1,26 - 6,48           →           ∑ y - A = 9,648   m 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora é só aplicar a fórmula para acharmos as coordenadas X - e Y - do centróide da nossa figura.

Então, para X - vamos ter que:

X - = ∑ x - A ∑ A         →       X - = 15,192   6,84

X - = 2,22   m

E para Y - vamos ter que:

Y - = ∑ y - A ∑ A         →       Y - = 9,648 6,84

Y - = 1,41   m

Resposta

X - = 2,22   m

Y - = 1,41   m

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