Exercícios Resolvidos de Corpos Compostos

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2012, 195, 5/67

Um instrumento que trabalha submerso é montado como mostrado na figura. Determine as coordenadas do centróide desse volume composto.

Passo 1

Vamos começar definindo cada parte que compõe este corpo. Vamos começar pelo paralelepípedo:

O seu volume será:

V 1 = 190 170 250           →           V 1 = 8075000   m m 3

Vamos analisar o cilindro maior:

O volume do cilindro é calculado através da seguinte fórmula:

V c i l i n d r o = π r 2 L

Onde L é o seu comprimento.

Então, o volume do nosso cilindro será:

V 2 = π ( 60 ) 2 200           →           V 2 = 2261946,7   m m 3

A nossa próxima parte é o cilindro mais fininho:

Perceba que para achar o comprimento deste cilindro temos que descontar um pedaço correspondente ao raio da esfera. Então, o seu volume será:

V 3 = π ( 7,5 ) 2 1 00           →           V 3 = 17671,5   m m 3

Vamos agora para a nossa quarta e última parte que é a esfera:

O volume da esfera se calcula assim:

V e s f e r a = 4 3 π r 3

Então, o volume da nossa esfera será:

V 4 = 4 π ( 50 ) 3 3           →           V 4 = 523598,8   m m 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O próximo passo é calcularmos as coordenadas x - , y - e z - do centróide de cada parte que compõe a figura.

Vamos começar pelo paralelepípedo, sabendo que o seu centróide fica no seu centro geométrico:

Repare que o centróide está bem na origem dos eixos, então as suas coordenadas são:

x - = 0

y - = 0

z - = 0

Beleza?

Agora vamos ver o cilindro maior:

As coordenadas de seu centróide são:

x - = 18 5   m m

y - = 0

z - = 0

E o cilindro menor fica:

E as coordenadas do centróide deste cilindro são:

x - = 0  

y - = 175   m m

z - = 0

E por último temos a esfera:

O centróide da esfera também está localizado em seu centro geométrico, então as suas coordenadas são:

x - = 0  

y - = 2 75   m m

z - = 0

Passo 3

Vamos montar a nossa tabela para nos organizarmos:

Repare que o volume total é:

∑ V = 8075000 + 2261946,7 + 17671,5 + 523598,8  

∑ V = 10878217   m m 3

Passo 4

Agora temos que multiplicar o volume de cada parte por suas respectivas coordenadas x - , y - e z - do centróide.

  • Retângulo:
  • V 1 x - = 8075000 0 = 0

    V 1 y - = 8075000 0 = 0

    V 1 z - = 8075000 0 = 0

  • Cilindro maior:
  • V 2 x - = 2261946,7 185 = 418460139,5   m m 4

    V 2 y - = 2261946,7 0 = 0

    V 2 z - = 2261946,7 0 = 0

  • Cilindro menor:
  • V 3 x - = 17671,5 0 = 0

    V 3 y - = 17671,5 175 = 3 0 92512,5   m m 4

    V 3 z - = 17671,5 0 = 0

  • Esfera:

V 4 x - = 523598,8 0 = 0

V 4 y - = 523598,8 2 75 = 143989670   m m 4

V 4 z - = 523598,8 0 = 0

Passo 5

Nossa tabela ficou assim:

Os totais da tabela são calculados assim:

∑ V x - = 0 + 418460139,5 + 0 + 0

∑ V x - = 418460139,5   m m 4

Temos também:

∑ V y - = 0 + 0 + 3092512,5 + 143989670

∑ V y - = 147082 182,5   m m 4  

E por último:

∑ V z - = 0 + 0 + 0 + 0 = 0

Beleza?

Passo 6

Vamos calcular agora as coordenadas do centróide do sólido como um todo. Para isso, vamos usar as nossas fórmulas.

Vamos começar pela coordenada X - :

X - = ∑ V x - ∑ V       →           X - = 418460139,5   10878217

X - = 38,5   m m

Agora a coordenada Y - :

Y - = ∑ V y - ∑ V       →           Y - = 147082182,5   10878217

Y - = 13 , 5 2   m m

E por último a coordenada Z - :

Z - = ∑ V y - ∑ V       →         Z - = 0   10878217

Z - = 0

Resposta

X - = 38,5   m m

Y - = 13,52   m m

Z - = 0

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