Exercícios Resolvidos de Corpos Compostos

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 195, 5/61

O hemisfério homogêneo cuja porção central foi removida, é representado abaixo. Determine a coordenada x do centro de massa do sistema.

Passo 1

O volume de uma esfera é dado por:

V = 4 π 3 R 3

Como estamos lidando com a metade de uma esfera de raio R , o volume será dado por:

V 1 = 2 π R 3 3

E seu centróide está localizado a uma distância do centro dada por:

x - = 3 R 8

Essa fórmula você pode encontrar em qualquer tabela!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Perceba que foi retirada uma semiesfera menor de raio R 2 da semiesfera maior. O volume desta semiesfera menor é:

V 2 = 2 π 3 R 2 3         →         V 2 = π R 3 12

Repare que este volume será negativo, pois estamos retirando a semiesfera menor da semiesfera maior.

E o seu centróide tem a seguinte coordenada x - :

x - = 3 8 R 2         →           x - = 3 R 16

Passo 3

Vamos montar a nossa tabela:

Precisamos terminar de preencher a tabela.

Vamos calcular o somatório dos volumes:

∑ V = 2 π R 3 3 - π R 3 12         →           ∑ V = 7 π R 3 12

Passo 4

Nossa tabela está assim:

Temos que multiplicar cada volume pela sua respectiva coordenada y - :

V 1 x - = 2 π R 3 3 3 R 8       →           V 1 x - = π R 4 4

E:

V 2 x - = - π R 3 12 3 R 16         →           V 2 x - = - π R 4 6 4

E o somatório destes dois valores que achamos é:

∑ V x - = V 1 x - + V 2 x -       →           ∑ V x - = π R 4 4 - π R 4 64

∑ V x - = 15 π R 4 64

Passo 5

Então, a nossa tabela ficou:

Agora é só aplicarmos nossa fórmula:

X - = ∑ V x - ∑ V           →           X - = 15 π R 4 64 7 π R 3 12

X - = 45 112 R

Resposta

X - = 45 112 R

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