Exercícios Resolvidos de Curvatura e Raio de Curvatura

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Enunciado

(Capítulo 13.3 – Exercício 17)

(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T ( t ) e N ( t ) .

(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.

r t = t ,   3 cos ⁡ t ,   3 sen ⁡ t

Passo 1

Fala aí, galerinha!! Tudo certinho? Bora lá resolver mais uma questão?

Essa questãozinha aqui nos dá uma função vetorial e pede 2 coisas. No item a, objetivo é determinar dois vetores: o tangente e o normal. E no item b, a partir dos vetores encontrados no primeiro item, calcularemos sua curvatura.

Dando início ao item (a), encontraremos primeiramente o vetor tangente, que possui a seguinte fórmula:

T t = r ' t r ' t

Observe que precisaremos da derivada da função dada no enunciado (numerador) e do módulo dessa derivada (denominador).

Com o vetor tangente, calculamos o vetor normal, com a seguinte fórmula:

N t = T ' t T ' t

E a fórmula 9 do livro, mencionada no enunciado pra calcular a curvatura é:

k t = | T ' t | r ' t

Passo 2

Então, o primeiro passo é derivar a função r ( t ) , fazendo uso da regra da derivada termo a termo: r t = t ,     3 cos ⁡ t ,     3 sen ⁡ t

r ' t = 1 ,     - 3 sen ⁡ t ,     3 cos ⁡ t

Passo 3

Agora que temos a derivada, precisamos calcular seu módulo r '   t .

Tá, mas como calculamos de fato esse módulo? Ele nada mais é, do que a raiz quadrada, da soma dos quadrados de cada um dos componentes da curva derivada.

Em termos de equação, vamos ter:

r ' ( t ) = f ' t 2 + g ' t 2 + h ' t 2

Então, substituindo os valores encontrados no passo1, na fórmula acima, temos que:

r ' ( t ) = 1 2 + - 3   s e n   t 2 + 3 cos ⁡ t   2

Isso nos da que:

r ' ( t ) = 1 + 9 sin 2 ⁡ t + 9 cos 2 ⁡ t

r ' ( t ) = 1 + 9 ( sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t )

Aqui podemos fazer uma observação importante! Das relações trigonométricas, sabemos que sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1 . Então, podemos substituir na equação acima, obtendo:

r ' ( t ) = 1 + 9 ⋅ 1 = 10

Pronto! Já temos o nosso módulo. Vamos continuar?

Passo 4

Substituindo os valores da derivada de r ( t ) e seu módulo, na equação do vetor tangente, temos:

T t = r ' ( t ) | r ' t | = 1 ,   - 3 sen ⁡ t ,   3 cos ⁡ t 10

Pronto! Já temos nosso vetor tangente.

Passo 5

Agora vamos calcular o vetor normal. Pra isso, vamos usar a seguinte fórmula:

N t = T ' t T ' t

Vamos então começar derivando T t , para então calcularmos o módulo dessa derivada:

Para essa derivada, basta derivar termo a termo:

T ' ( t ) = 0 ,   - 3 cos ⁡ t ,   - 3 sen ⁡ t 10

E agora, que temos a derivda, tiramos o módulo.

Tá, mas como fazemos isso? Igual ao passo 2!

Então, vamos ter que:

T ' t = 1 10 0 + 9 cos 2 ⁡ t + 9 sen 2 ⁡ t = 1 10 9 ( cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t )

T ' t = 3 10

Passo 6

Substituindo os valores encontrados na fórmula de N ( t ) temos que:

N t = T ' t T ' t = 1 10 3 10 0 ,   - 3 cos ⁡ t ,   - 3 sen ⁡ t

N t = 0 ,   - cos ⁡ t ,   - sen ⁡ t

Prontinho! Nosso item (a) está completo.

Passo 7

Agora, partindo para o item (b), a fórmula 9 mencionada no enunciado é a seguinte

k t = | T ' t | r ' t

Então, substituindo os valores dos módulos da derivada do vetor tangente (numerador), e da derivada da função (denominador), temos:

k t = T ' t r ' t = 3 10 10

k ( t ) = 3 10

Pra essa questão é isso, pessoal!! Bora resolver mais uma?

Resposta

a) T t = 1 ,   - 3 sen ⁡ t ,   3 cos ⁡ t 10 ; N t = 0 ,   - cos ⁡ t ,   - sen ⁡ t

b) k ( t ) = 3 10

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