Exercícios Resolvidos de Curvatura e Raio de Curvatura

George B. Thomas, Cálculo,Volume II,11º ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 263, exercício 20b.

Encontramos a curvatura total da parte de uma curva lisa que vai de s = s 0 ate s = s 1 > s 0 integrando κ de s 0 até s 1 . Se a curva tiver algum outra parâmetro, digamos t , então a curvatura total é:

K = s 0 s 1 κ d s = t 0 t 1 κ d s d t   d t = t 0 t 1 κ v d t

Onde t 0 e t 1 correspondem a s 0 e s 1 . Encontre a curtavura total da parábola

y = x 2 ,   - < x < +

Passo 1

Para encontrar a curvatura vamos usar a fórmula

κ = σ ' t × σ ' ' t σ ' t 3

Vamos então parametrizar nossa parábola:

x t = t

y t = t 2

- < t < +

σ t = ( t , t 2 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

σ ' t = 1,2 t

σ ' ' t = ( 0,2 )

σ ' t = 1 2 + 2 t 2 = 1 + 4 t 2

Passo 3

Agora vamos calcular esse produto vetorial:

i j k 1 2 t 0 0 2 0 = + 2   k = 0,0 , 2

Passo 4

Substituindo na fórmula:

κ = 2 ( 1 + 4 t 2 ) 3

Passo 5

Agora, pra achar a curvatura total, vamos integrar

K = t 0 t 1 κ v d t

t 0 = -

t 1 = +

κ = 2 ( 1 + 4 t 2 ) 3

v = σ ' t = 1 + 4 t 2

K = - + 2 1 + 4 t 2 3 . 1 + 4 t 2 d t

K = - + 2 1 + 4 t 2 2 d t = - + 2 1 + 4 t 2 d t

K = lim a - a 0 2 1 + 4 t 2 d t + lim b + 0 b 2 1 + 4 t 2 d t

K = l i m a - t g - 1 2 t 0 a + l i m b + t g - 1 2 t b 0

K = l i m a - - t g - 1 2 a + l i m b + t g - 1 2 b = π 2 + π 2 = π

Resposta

K = π

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