Exercícios Resolvidos de Curvatura e Raio de Curvatura

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Enunciado

Considere a curva C definida pela função vetorial

r t = e t cos ⁡ 3 t ,   e t s e n 3 t ,   e 2 t  

onde t ≥ 0 .

Encontre equações simétricas para a reta tangente à curva C no ponto P 1,0 , 1 .

Passo 1

Cara, para achar a curvatura de um ponto é só usar a fórmulinha

k t 0 = r ' t 0 × r ' ' t 0 r ' t 0 3

r ' t 0 ,   r ' ' t 0 são as derivada de r t no ponto t 0 . E quem é t 0 ? É o valor de t para o ponto P 0 = 1,0 , 1 . A gente acha ele usando a equação da nossa curva, assim:

r t = e t cos ⁡ 3 t ,   e t s e n 3 t ,   e 2 t  

r t 0 = e t 0 cos ⁡ 3 t 0 ,   e t 0 s e n 3 t 0 ,   e 2 t 0 = 1,0 , 1  

Da componente z , a gente tira a relação

e 2 t 0 = 1 ∴ t 0 = 0

Daí temos que

r ' t 0 = r ' 0

r ' ' t 0 = r ' ' 0

Queremos calcular então

k 0 = r ' 0 × r ' ' 0 r ' 0 3

Passo 2

Vamos calcular esses caras então:

r t = e t cos ⁡ 3 t ,   e t s e n 3 t ,   e 2 t

r ' t = e t cos ⁡ 3 t - 3 e t   s e n 3 t ,   e t s e n 3 t + 3 e t cos ⁡ 3 t ,   2 e 2 t

r ' t = e t cos ⁡ 3 t - 3   s e n 3 t ,   e t s e n 3 t + 3 cos ⁡ 3 t ,   2 e 2 t

r ' 0 = 1 - 0 ,   0 + 3 ,   2

r ' 0 = 1 ,   3 ,   2

r ' ' t = e t cos ⁡ 3 t - 3   s e n 3 t + e t - 3 s e n 3 t - 9 cos ⁡ 3 t , e t s e n 3 t + 3 cos ⁡ 3 t + e t 3 cos ⁡ 3 t - 9 sen ⁡ 3 t ,   4 e 2 t  

r ' ' 0 = 1 - 9 ,   3 + 3 ,   4

r ' ' 0 = - 8 ,   6 ,   4

Passo 3

Vamos calcular aquele produto vetorial ali

r ' 0 × r ' ' 0 = i ^ j ^ k ^ 1 3 2 - 8 6 4 = 12 - 12 i ^ - 4 + 16 j ^ + 6 + 24 k ^ = 0 , - 20 , 30

Nossa fórmulinha fica:

k 0 = r ' 0 × r ' ' 0 r ' 0 3

Calculando separadamente umas coisinhas

r ' 0 × r ' ' 0 = 0 , - 20,30

r ' 0 × r ' ' 0 = 0 2 + - 20 2 + 30 2 = 1300

r ' 0 = 1 ,   3 ,   2

r ' 0 3 = 1 2 + 3 2 + 2 2 3

r ' 0 3 = 14 3 = 14 3 2

Agora é montar a bonita da curvatura:

k 0 = 1300 14 3 2

Resposta

k 0 = 1300 14 3 2

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